Семинары / Семинар 11

Семинар 11. ТВиМС1.

Закон распределения и характеристики n-мерных случайных величин II.

Задачи

1. Случайная точка (, ) равномерно распределена в квадрате B={0x, y 4}. Найти _,(x, y), F_(x), P{–2<<2, 1<3}.

Указание: P{–2<<2, 1<3}=; F_(x)= при 0<x4.

Ответ. _,(x, y)=1/16 при (x, y)B, _,(x, y)=0 при (x, y)B; P{–2<<2, 1<3}=1/4; F_(x)=0 при x0, F_(x)=x/4 при 0<x4, F_(x)=1 при x>4.

2. Случайная точка (, ) равномерно распределена внутри круга B={(x, y)| }. Найти _,(x, y), _(x).

Ответ: _,(x, y)=1/r² при (x, y)B, _,(x, y)=0 при (x, y)B; _(x)=при |x|r, _(x)=0 при |x|>r.

3. Совместная плотность распределения случайных величин ,  имеет вид

а)

Найти c, _(x), P{>2}.

б)

Найти c, _(y), P{>1}.

Ответ: а) c=1/216, _(x)=(x+3)/36 при x[0, 6], _(x)=0 при x[0, 6], P{>2}=11/18; б) c=3/32, _(y)=3y²/16 +1/4 при y[0, 2], _(y)=0 при y[0, 2], P{>1}=11/16.

4. Совместная плотность распределения случайных величин ,  имеет вид

а)

б)

в)

, – <x , y<+.

Зависимы или нет случайные величины , . Найти _(x).

Указание: а) Найти _(x), _(y) и проверить, что ; б) Воспользоваться тем, что функция является плотностью стандартного нормального распределения и, следовательно, .

Ответ: а) _(x)=2x при x[0, 1], _(x)=0 при x[0, 1], независимы; б)–в) _(x)=, независимы.

5. Совместная плотность распределения случайных величин ,  имеет вид

а)

б)

Найти .

Ответ:

a) = при z[0, ],=0 при z[0, ].

б) = при z[0, /2], =при z(/2, ], =0 при z[0, ].

6. Случайные величины ,  независимы и

а)

б) равномерно распределены на отрезке [0, 1].

в)

Найти , .

Указание. б) F_–(y)=P{–y}=1–P{<–y} и _–(y)=1 при y[–1, 0], _–(y)=0 при y[–1, 0], =. = при z[0, 1], = при z(1, 2].

Ответ:

a) =ze^–z при z0, =0 при z<0, .

б) =z при z[0, 1], =2–z при z(1, 2], =0 при z[0, 2]; =z+1 при z[–1, 0], =1–z при z(0, 1], =0 при z[–1, 1].

7. Пусть , – независимые случайные величины с функциями распределения F_(x) и F_(y) соответственно. Найти функцию распределения случайной величины а) =max(, ); б) =min(, ).

Указание: F_(z)=P{ z}= P{ max(, ) z}= P{ z ,  z}.

Ответ: а) F_(z)=F_(z)F_(z); б) F_(z)=1–(1–F_(z))(1–F_(z)).

8. Совместная плотность распределения случайных величин ,  имеет вид

Найти функцию распределения случайной величины а) =max(, ); б) =min(, ).

Ответ:

10. Совместная плотность распределения случайных величин ,  имеет вид

Пусть =². Найти E, E, cov(, ).

Ответ: E=2/3, E=1/3, cov(, )=0.

11. Совместная плотность распределения случайных величин ,  имеет вид

Найти E(1–). Ответ: 1/6.

12. Совместная плотность распределения случайных величин ,  имеет вид

Найти c, E(² +²). Ответ: c=3/8, E(² +²)=14/5.

13. Совместная плотность распределения случайных величин ,  имеет вид

Найти E, D, ковариацию и корреляцию случайных величин , .

Ответ: E=7/12, D=11/144, cov(, )= –1/144, (, )= –1/11.

14. Непрерывная двумерная случайная величина (, ) распределена равномерно в круге радиуса r с центром в начале координат. Доказать, что ,  зависимы, но не коррелированны (cov(, )=0).

15. Двумерное распределение случайных величин ,  задано функцией распределения

Найти .

Указание. Показать, что ,  равномерно распределены на [0, 1] и P{=}=1. Ответ: 1–.

16.(необязательно) Для зашифрования сообщения используется неизвестная последовательность целых чисел. Каждую букву сообщения предварительно заменили ее порядковым номером в алфавите (А на 1, …, Я на 33). Затем прибавляли к нему очередной член последовательности и, наконец, выписывали остаток от деления этой суммы на 33. Получилось вот что:

22

24

23

27

2

3

3

9

18

25

1

18

18

8

12

32

6

32

23

Если бы при зашифровании того же самого сообщения вместо сложения с членами последовательности производили вычитание, то получилось бы

14

11

15

7

1

9

7

3

8

20

29

2

27

16

14

32

11

13

32

Найдите исходное сообщение.

17. (необязательно) Клара направила Карлу три письма. В первом письме был листочек с квадратной таблицей:

в третьем - с таблицей:

Второе письмо, содержавшее пояснения по использованию этих таблиц, потерялось. Помогите Карлу прочитать послание Клары.

16. (необязательно) Для зашифрования текста шифром “Поворотная решетка” из бумажного квадрата размером 8х8 клеток изготавливают трафарет. Вырезанные клетки выбирают так, что при наложении трафарета на лист бумаги того же размера четырьмя возможными способами каждая клетка листа “открывается” ровно один раз. Первые 16 букв текста сообщения вписываются в прорези трафарета (по одной в каждую), потом трафарет поворачивается на 90 градусов, вписываются следующие 16 букв и т.д. Для повышения сложности шифра процедуру зашифрования провели дважды. Найдите текст исходного сообщения по шифрованному тексту

В

Р

И

Е

А

Ь

И

Л

А

Т

Е

И

Л

Я

О

Т

А

И

Н

С

З

Е

Н

Ц

Р

Е

Е

Ы

П

Ы

П

А

Л

С

Ь

Л

Р

Е

С

А

О

А

Ш

О

Н

Ф

Ю

З

О

С

Н

Л

Х

А

Л

Н

У

Ю

Р

А

Й

Е

Б

Х

Е

Л

И

К

И

Н

И

Е

Ы

Н

Ф

И

О

О

П

Т

Я

Х

И

С

О

Ш

В

Г

Х

Ь

И

Н

И

Т

Д

Н

Е

Р

Г

Ь

Р

Д

Г

Ц

И

В

И

С

К

Л

В

О

Ж

Д

У

О

Е

Н

М

Б

Р

Е

Ф

Й

И

К

П

Н

Я

И

Ч

И

И

С

М

А

А

И

Ь

О

И

Й

Ф

Е

О

А

И

Т

И

С

Ж

Д

В

З

Б

Ы

С

И

Р

К

Ю

Ц

А

О

Й

В

А

Р

Н

О

Л

И

Х

Р

Е

И

Т

С

Р

Г

Д

Р

Ы

Д

Н

Р

А

Э

Р

Л

Л

А

Е

Л

Ь

В

З

Е

И

М

Ь

Л

А

В

Е

О

Ж

Н

У

Д

Л

Н

З

Л

Й

С

Ы

А

Ф

Н

А

С

К

Е

А

К

Й

Ы

О

О

З

И

О

А

И

Р

Г

Т

М

Й

К

С

Т

А

Т

С

Ч

Л

Л

Е

Р

Т

З

О

Т

Ы

И

Е

Я

О

Е

К

Д

О

Ы

С

Ь

Я

Е

Т

У

Д

Ы

Ь

П

С

О

О

М

Ж

Д

Т

Р

А

Е

Е

Л

Х

Н

Р

И

Ч

Ю

Н

С

Е

Т

З

Л

Ь

О

Е

Е

И

У

К

С

В

Е

Н

С

Л

Е

А

О

Б

П

О

Ш

Ы

Р

Н

Д

Д

И

Е

Т

Л

Т

П

Т

К

О

И

Я

И

Н

Т

Е

А

Е

Р

Е

А

Ю

Е

М

Ь

Е

В

С

Б

Е

О

Ь

П

М

Ж

Т

К

А

Я

О

О

И

Л

Т

Т

В

П

А

С

Х

К

Т

Д

А

О

Д

Н

Р

Н

И

У

И

Ь

М

Н

О

Ж

А

Е

И

В

В

АА

Т

Р

Х

К

О

С

Д

Д

Ж

М

Е

М

У

С

С

В

Т

М

И

Р

Ж

О

О

Д

В

Е

Т

И

П

Ы

Т

Я

Т

З

О

С

У

О

П

Ж

Т

Н

С

Ч

Е

Е

О

О

К

Я

Я

О