Семинар 3. ТвиМС1. Формула сложения вероятностей. Урновые схемы.

Приведем две часто встречающиеся вероятностные схемы. Пусть ={i₁,…,i_n}-упорядоченный набор из n элементов множества , nm. Вероятностная схема, в которой

={={i₁,…,i_n}: i_k, k=}

и все элементарные события  равновероятны, называется схемой случайного выбора с возвращением. ||=mⁿ.

Схемой случайного выбора без возвращения называют вероятностную схему, в которой

={={i₁,…,i_n}: i_k, k=, среди i₁,…,i_n нет одинаковых}

и элементарные события  равновероятны. ||=m(m–1)…(m–n+1).

При вычислении вероятности часто оказываются полезными различные комбинаторные формулы. Приведем основные из них. Пусть дано множество B={b₁,…,b_m} из m элементов. Подмножества множества B называются сочетаниями. Число сочетаний, которое можно образовать из m элементов B, выбирая различными способами подмножества по n элементов, обозначают . Справедлива формула

(говорят “n из m” или “из m по n”).

Упорядоченные цепочки , образованные из различных элементов , называются размещениями. Число размещений, образованных выбором различных упорядоченных цепочек длины n из m элементов, обозначают . Для имеем формулу

= m(m–1)…(m–n+1) ( число различных размещений из m по n).

Частный случай размещения при m=n называют перестановкой. Число различных перестановок, образованных из m элементов, равно m!.

Событие A+B называется суммой событий A и B, если A+B происходит, когда происходит хотя бы одно из событий A или B. Произведение событий AB – это событие, состоящее в том, что происходит и событие A, и событие B. События A и B несовместны, если A и B не могут произойти одновременно. Если события A и B несовместны, то AB –невозможное событие.

Если использовать задание случайных событий посредством перечисления благоприятствующих элементарных событий, то суммой событий A+B можно назвать событие, состоящее из элементарных событий, каждое из которых входит хотя бы в одно из событий A или B; произведение AB состоит из элементарных событий, входящих и в A, и в B.

Справедлива формула

P{A+B}= P{A}+ P{B}– P{AB}.

Если среди событий A₁,…, A_n любые два события несовместны, то

P{A₁+…+ A_n}= P{A₁}+…+ P{A_n}.

Событие , противоположное событию A, состоит в том, что A не произошло.

Формула

P{A}=1– P{}

оказывается полезной в тех случаях, когда вероятность события вычислить проще, чем вероятность события A.

Задачи

1. Брошено две игральные кости. Найти вероятность события D={что выпала хотя бы одна шестерка}. Задачу решить двумя способами: а) с помощью формулы сложения вероятностей, введя несовместные события; б) с помощью противоположного события.

Указание. а) Элементарным событием является пара чисел (i, j): i – число очков, выпавших на 1-й кости, j – число очков, выпавших на 2-й кости. Рассмотреть события

E₁={на 1-й кости выпала шестерка}, E₂={на 2-й кости выпала шестерка}.

Тогда D = E₁+ E₂. События E₁ и E₂–совместные.

б) Противоположное событие ={не выпало ни одной шестерки}. Событие состоит из всех элементарных событий (i, j), в которых i 6 и j6.

Ответ: 11/36

2. Брошено n игральных костей. Найти вероятности событий:

а) не выпала ни одна шестерка; б) выпала хотя бы одна шестерка; в) выпало ровно k, kn, шестерок.

Ответ: а) , б) , в) .

3. В ящике 10 одинаковых карточек, на которых по одной написаны цифры 0, 1,…,9. Два раза с возвращением вынимается по одной карточке. Найти вероятности событий:

А={на вынутых карточках появились цифры «0», «0»},

B={на 2-й карточке появилась «9»},

C={ни на одной из вынутых карточек не было «5»},

D={появилась хотя бы одна «1»}.

Обобщить и решить задачу для n карточек, n10.

Ответ: P{А}=0.01, P{B}=0.1, P{C}=0.81, P{D}=0.19.

4. Найти вероятность того, что в группе из n человек нет общих дней рождений. Считать, что в году m дней.

Ответ: m(m–1)…(m–n+1)/mⁿ.

5. Найти вероятность того, что в группе из 6 человек 1) ни у кого нет дня рождения в январе и декабре; 2) хотя бы два человека родились в один месяц.

Ответ: а) , б) .

6. Пусть урна содержит N шаров, занумерованных числами 1, 2,…,N и извлекают n шаров с возвращением. Пусть X_n– число появлений среди n шаров шара с номером 1. Найти P{X_n>0}. Ответ:1– .

7. Известно, что P{B}=b, P{A+B}=c. Найти вероятности а) P{}, б) P{}.

Указание. Воспользоваться равенствами P{А}=P{AB}+P{}, P{A+B}=P{A}+P{B}–P{AB}. Ответ: а) c–b б) 1– c.

8. Дворцовый чеканщик кладет в каждый ящик вместимостью в 100 монет одну фальшивую. Король подозревает чеканщика и подвергает проверке монеты, взятые наудачу по одной в каждом из 100 ящиков. Какова вероятность, что чеканщик не будет разоблачен? Каков ответ, если 100 заменить на n. Найти вероятность при n.

Ответ: .

9. События A и B независимы, P{А}=p, P{B}=q. Найти вероятность наступления только одного из этих событий.

Указание: С=+. Ответ: p(1– q)+q(1– p).

10. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого равна 0.7, для второго –0.8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадет только один стрелок. Ответ: 0.38.

11. а) Доказать, если событие A влечет наступление события С, то P{С}P{А}.

б) Наступление события AB влечет наступление события С. Доказать, что

P{А}+ P{B}– P{С}1.

Указание: а) С=A+, б) А=AB+.

12. Вы задались целью найти человека, день рождения которого совпадает с вашим. Сколько незнакомцев n вам придется опросить, чтобы вероятность встречи такого человека была не меньше, чем 1/2? Считать, что в году m дней. Найти численное значение для m=365.

Указание. См. задачу 6. Для оценки использовать аппроксимацию .

Ответ: n m ln 2.

13. При каком минимальном числе r людей в компании вероятность того, что хотя бы два из них родились в один и тот же день, не меньше 1/2? Считать, что в году m дней. Найти численное значение для m=365.

Указание. См. задачу 5. Для оценки использовать аппроксимацию , 0kr.

Ответ: , r23.

14. Какую долю составляют инъективные отображения среди всех отображений k-элементного множества в n-элементное? Как связан этот вопрос с задачами о днях рождениях?

15. Известно, что P{X10}=0.9, P{|Y|1}=0.95. Доказать, что при любой зависимости между X и Y для Z=X +Y имеются следующие неравенства:

P{Z11}0.85, P{Z9}0.95

Указание. Из Z=X +Y следует: Z X+|Y|, Z X–|Y|, P{Z11} P{X10 и |Y|1}.

16. Для уменьшения общего количества игр 2n команд спортсменов разбили на две группы. Определить вероятность того, что две наиболее сильные команды окажутся в разных: а) в разных подгруппах; б) в одной подгруппе.

Ответ: а) ; б).

17. Объяснить следующие парадоксы.

а) Правильная игральная кость при бросании с равными вероятностями падает на любую из 6 граней. В случае бросания двух костей сумма выпавших чисел заключена между 2 и 12. Как 9, так и 10 из чисел 1,…,6 можно получить двумя разными способами: 9=3+6=4+5 и 10=4+6=5+5. В задаче с тремя костями и 9, и 10 получаются 6 способами. Почему тогда 9 появляется чаще при бросании двух костей, а 10 – при трех.

б) Парадокс де Мере. При четырех бросаниях одной игральной кости вероятность того, что по крайней мере один раз выпадет 1, больше 1/2. В то же время при 24 бросаниях двух костей вероятность выпадения двух 1 одновременно (по крайней мере однажды) меньше 1/2. Это кажется удивительным, так как шансы получить одну 1 в шесть раз больше, чем шансы выпадения двух 1, а 24 как раз в 6 раз больше 4.