4.3.2. Неприводимые многочлены в конечном поле k.

В этом разделе мы научимся определять для заданного многочлена с коэффициентами из конечного поля P={0, 1, 2, ... q - 1}, является ли этот многочлен неприводимым в поле P. Неприводимые многочлены используются для построения линейных сдвиговых регистров с обратной связью (см. раздел 3.1.6). Наш алгоритм основывается на следующей теореме.

Теорема. Пусть F – конечное поле, состоящее из q элементов. Тогда для любого натурального многочлен является произведением всех неприводимых над полем F многочленов степени k.

Из этой теоремы сразу следует, что для произвольного многочлена является произведением всех линейных сомножителей , является произведением всех квадратичных сомножителей и т.д. Поэтому, если =1 для , то является неприводимым многочленом. Наибольший общий делитель двух многочленов находят с помощью алгоритма Евклида, используя соотношение , где - остаток от деления на .

Упомянутый тест на неприводимость можно заменить более быстрым альтернативным тестом: многочлен над полем F= является неприводимым тогда и только тогда, когда , и для всех простых делителей k степени n.

Пример. Показать неразложимость многочлена над полем F₂={0,1}.

В данном случае, n=3, q=2. Для вычисления поделим столбиком на и найдем остаток: . Остаток равен x. Простым делителям числа n=3 являются только k=1, поэтому остается только проверить, что . Для этого делим первый многочлен на второй и находим остаток . Теперь по алгоритму Евклида .

ρ-метод Полларда для дискретного логарифмирования — алгоритм дискретного логарифмирования в кольце вычетов по простому модулю, имеющий экспоненциальную сложность. Он был предложен Поллардом в 1978 году.

Постановка задачи

Для заданного простого числа p и двух целых чисел a и b требуется найти целое число x, удовлетворяющее сравнению:

Идея алгоритма

Рассматриваются три числовые последовательности:

определённые следующим образом:

({{{2}}})

({{{2}}})

({{{2}}})

({{{2}}})

Замечание: везде рассматривается наименьшие неотрицательные вычеты.

Далее рассматриваются наборы и ищется номер i, для которого . Для такого i выполнено

({{{2}}})

Если при этом , то

Эвристическая оценка сложности составляет

18. Дивизоры

Построение отображения Вейля и родственного ему отображения Тейта основано на теории дивизоров (делителей) алгебраических кривых, разработанной Андре Вейлем.

Идея понятия дивизора основана на том наблюдении, что коэффициенты любого полинома можно вычислить с точностью до ненулевого множителя, зная корни этого многочлена и их кратность.

Действительно, если многочлен P(x) имеет своими корнями кратности r_i элементы x_i, то _.

В нашем случае класс изучаемых функций состоит из дробно-рациональных функций над эллиптическими кривыми, т.е. отношений двух многочленов от двух переменных x и y, определенных на точках некоторой эллиптической кривой.

Пусть теперь E : –эллиптическая кривая над полем K, а f(x,y) : E → K –дробно-рациональная функция. Если f – не константа, то существует не более конечного числа точек P ∈ E, в которых f(P) = 0 или f(P) = ∞. Точки первого вида называются нулями функции f , а второго –

полюсами f . С точностью до ненулевого множителя функцию f можно задать, перечисляя все ее нули и полюсы и задавая их кратность. Если f имеет нуль (полюс) кратности k в точке P , то f можно представить в виде произведения , где u_p имеет в точке P нуль (полюс) первого порядка, а Функция u_p называется униформизатором функции f в точке P.

Определение 6.1. Пусть E : – эллиптическая кривая над полем k. Дивизором D над кривой E называется формальная сумма вида _,

в которой коэффициенты r_P – целые числа и число слагаемых с ненулевым коэффициентом r_P

– конечно. Множество точек P , для которых , называется носителем (support) дивизора D и обозначается supp(D). Целое число P ∈ supp(D), называется степенью D и обозначатся deg(D).

Точка эллиптической кривой, равная , называется суммой дивизора D и обозначается sum(D).

Сумма дивизоров определяется естественным образом. Множество дивизоров эллиптической кривой образует аддитивную группу относительно операции сложения, а нулем является дивизор, у которого все коэффициенты равны 0. В группе дивизоров наиболее важную роль играют дивизоры функций, которые называются главными дивизорами (principal divisors).

Вычислим дивизор прямой l : ax + by + c, проходящей через две заданные точки P1(x1, y1) и P2(x2, y2) эллиптической кривой E. Если l не является касательной в т.P1 и P2, то она пересекает E и в третьей т.P3(x3, y3), а также в бесконечно удаленной точке ∞. В точках P1, P2 и P3 прямая l имеет нули 1 порядка, а в т. ∞ – полюс 3 порядка. Чтобы увидеть это, перепишем уравнение ЭК в следующем виде:

₍₁₎ откуда _(2).

Из уравнения (1) следует, что x/y обращается в 0 в т.∞, а уравнение (2) показывает, что функция x/y является униформизатором в т.∞ и т.∞ является нулем второго порядка для . Значит т.∞ является полюсом 2 порядка для x. Так как y = x · (y/x), то т.∞ является полюсом 3 порядка для y и для функции l = Ax + By + C. Отсюда дивизор прямой l имеет вид _(3). Проведем через т.P₃ вертикальную прямую v = x – x₃. Она проходит через т.P₃(x₃, y₃), −P₃(x₃, −y₃) и т.∞, а ее дивизор имеет вид

. (4)

Из формул (3) и (4) получим

Так как P₁ + P₂ = −P₃ на кривой E, то последнюю формулу можно переписать в виде (5).

Из формул (3) и (4) можно видеть, что согласно определению 6.1 степени прямых l_P1,P2 и равны 0, а их сумма равна ∞, что является примером общего факта, выражаемого следующей теоремой:

Теорема 6.2. Дивизор D эллиптической кривой E, имеющий степень 0, является дивизором некоторой функции тогда и только тогда, когда sum(D) = ∞.

Функции от дивизоров

Отображение, задаваемое формулой (7), является групповым гомоморфизмом из аддитивной группы дивизоров в мультипликативную группу поля K , т.к. f(D₁ + D₂) = f(D₁) · f(D₂), f(D₁ − D₂) = f(D₁)/f(D₂) (6)

Распространяя формулы (6) на произвольные дивизоры, получим формулу (7).

Теорема 6.3.( закона взаимности Вейля) Если f и g – функции на эллиптической кривой такие, что

div(f) и div(g) не имеют общих точек, тогда выполняется следующая

формула: f(div(g)) = g(div(f)).