7.Потребляемая мощность.

Логическая модель элемента:

Функция – отображение множества аргументов на множество значений.

2. Перeключательная характеристика цифрового элемента. Понятие Базиса. Таблицы Истинности, Прямые и инверсные входы и выходы логических элементов. Уго элементов.

Функция двоичных переменных также равная одному из двух значений (нулю или единице) - называется переключательной (логической) функцией (ПФ).

Существует несколько способов однозначного задания переключательных функций:

1. Заполнение таблицы истинности.

2. Перечисление номеров наборов, на которых ПФ равна 0.

3. Перечисление номеров наборов, на которых ПФ равна 1.

4. Присваивание ПФ её собственного номера.

5. Представление ПФ в аналитическом виде – в виде совершенных форм.

Увеличение запаса надёжности ухудшает быстродействие (т.е. время переключения).

Чем больше запас, тем больше нужно затратить «сил» (энергии) на переключение. Основное потребление энергии происходит как раз в момент переключения.

X2	X1	И	ИЛИ	И-НЕ	ИЛИ-НЕ	XOR
0	0	0	0	1	1	0
0	1	0	1	1	0	1
1	0	0	1	1	0	1
1	1	1	1	0	0	0

Базис – совокупность элементарных логических функций, с помощью которой можно выразить любую логическую функцию.

Базисы:

А) И, ИЛИ, НЕ, XOR (исключающее ИЛИ)

Б) Штрих Шеффера (И-НЕ)

В) Стрелка Пирса (ИЛИ-НЕ)

УГО элементов:

И:

ИЛИ:

НЕ:

И-НЕ (штрих Шеффера):

ИЛИ-НЕ (Стрелка Пирса):

Исключающее ИЛИ (XOR):

Таблица истинности задаёт значение функций на всех наборах аргументов.

Входы бывают:

• прямой вход (если это не информационный, а исполнительный вход, то активным является высокий уровень);

• инверсный вход (при нуле разрешается работа выхода - активным является низкий уровень - "0");

Прямой и инверсный динамические входы отличаются фронтом исполнения. Прямой - исполнение при переходе из 0 в 1; инверсный - при переходе из 1 в 0. Такой фронт у регистров, счётчиков и т.д.

3. Реализация функций Алгебры логики (фал) на элементах эвм. Способы задания функций. Переход от одних способов задания фал к другим. Минимизация Методом Квайна Мак-Класски.

Функцией алгебры-логики называется функция, областью определения и областью значений которой является множество элементов, которые могут принимать значения: 1(истина) и 0 (ложь).

Функция а/л может быть представлена в виде логического элемента, имеющего N входов и от 1 до N выходов. Первые, обозначающие аргументы функции (входы), имеют название «входного алгоритма». Возможное количество входных комбинаций описывается как «2^N».

Реализация комбинационных схем с помощью функций а/л:

1. Задать функцию, которую хотим реализовать (в виде функций а/л)

2. Провести минимизацию функции, используя один из методов (графический – карты Карно (диаграммы Вейча) или алгебраический - способ Квайна Мак-Класски)

3. Получившуюся функцию преобразовать в базис имеющейся элементной базы

4. Xn	X0	F(X0-Xn)
   Все возможные значения от 0000 до 1111.			Результат

   Нарисовать схему

Способы представления функций а/л:

А) Табличный способ (таблица истинности).

Функция отображения входных значений на выходные.

С таблицы истинности обычно начинается проектирование устройств.

Б) Запись в виде формулы, используя базисы логической функции.

Базис – совокупность элементарных логических функций, с помощью которой можно выразить любую логическую функцию. Базисы:

• И, ИЛИ, НЕ, Исключающее ИЛИ

• Штрих Шеффера (И-НЕ)

• Стрелка Пирса (ИЛИ-НЕ)

Существует 2 формы записи таблицы истинности:

а) СДНФ (в ней функция представлена как дизъюнкция элементарных конъюнкций, причём каждый элемент конъюнкции содержит в себе ВСЕ переменные, на которых определена эта функция)

б) СКНФ (в ней функция представлена как конъюнкция элементарных дизъюнкций, причём в каждый терм (элемент) содержит ВСЕ переменные, на которых определена функция).

Правила перехода от табличной формы к СДНФ (СКНФ):

№	Х1	Х2	Х3	F (X1,X2,X3)
0	0	0	0	0	—
1	0	0	1	0	—
2	0	1	0	0	—
3	0	1	1	1	√
4	1	0	0	1	√
5	1	0	1	0	—
6	1	1	0	1	√
7	1	1	1	0	—

В таблице истинности выбрать значения, на которых функция принимает значения «1» («0»), выписать элементарные конъюнкции (дизъюнкции), при этом если элемент присутствует как «1»-ца («0»), то она входит в прямом виде, если как «0» («1»), то в инверсном.

Все термы соединены дизъюнкциями (конъюнкциями).

СДНФ:F(X1,X2,X3)= nX3X2X3 + X1nX2nX3 + X1X2nX3

СКНФ:F(X1,X2,X3)= (X1+X2+X3) * (X1+X2+nX3) * (X1+nX2+X3) * (nX1+X2+nX3) * (nX1+nX2+nX3)

Конъюнкция – логическое умножение ( *, &, ^ )

Дизъюнкция – логическое сложение ( +, \/ («стрелка вниз»))

В) Сокращенная запись

СДНФ:∑ (3,4,6) – там, где функция на выходе равна «1»

СКНФ:∏ (0,1,2,5,7) - там, где функция на выходе равна «1»

Функция не определена: X (….) – в скобках указываются номера наборов.

В случае, если необходимо записать в виде базиса не полностью определённую функцию, её доопределяют «1»-ми или «0»-ми (для СДНФ доопределяют «1»-ми, для СКНФ – «0»-ми).

Минимизация функций основана на правиле склеивания: A*B + A*nB = A. Условия при которых можно производить склеивание пары:

1. В парах должен быть одинаковый набор переменных

2. Одна и только одна переменная должна входить в прямом виде в одной паре, а в другой в обратном.

Определение. Тупиковой ДНФ называется дизъюнкция простых импликант, ни одну из которых из выражения функции исключить нельзя.

Конституентой единицы функции называют функцию, принимающую значение единицы только на одном наборе аргументов.

Простой импликантой называется произведение, которое само входит в выражение функции, но никакая его собственная часть в выражение функции не входит. Например: Х1vХ1 Х2 Х3 vХ1Х3=f. Здесь Х1 — простая импликанта, а Х1 Х2 Х3 и Х1 Х3 — непростые.

Метод минимизации ФАЛ по Квайну заключается в следующем:

1. Находят сокращенную ДНФ.

2. Находят все возможные тупиковые ДНФ (ТДНФ).

3. Из найденных ТДНФ выбирают минимальную.

Метод Квайна–Мак-Класски

Основное неудобство метода Квайна состоит в том, что при поиске простых импликант необходимо производить попарные сравнения с всех конституент единицы, затем полученных в результате склеивания произведений.

С целью упрощения этой процедуры Мак–Класски предложил алгоритм, существо которого сводится к следующему:

1. вводится понятие цифрового эквивалента для каждого произведения по следующему правилу: некоторому произведению ставится в соответствие цифровой эквивалент с использованием цифр ≪0≫ и ≪1≫ и ≪-≫ (прочерк). Переменной, входящей в произведение в прямом виде ставится в соответствие единица (≪1≫), в инверсном – нуль (≪0≫),отсутствие переменной обозначается прочерком;

2. в любом произведении переменные располагаются только в одном порядке, а именно – по возрастанию индексов;

3. склейке подлежат только те произведения, в которых прочерки расположены соответственно, количество нулей (или единиц) отличается на единицу и они расположены так же соответственно.

Для поиска минимальной формы функции пользуются методом импликантных матриц. Существо метода заключается в следующем: составляется импликантная матрица, колонки которой именуются конституентами единицы, а строки – простыми импликантами. Затем находится минимальное покрытие всех конституент единицы простейшими импликантами. При этом ищется такая минимальная совокупность простых импликант, которые совместно покрывают все конституенты единицы исходной функции. Факт покрытия отмечается в клетке матрицы символом * (звездочка) в случае, когда импликанта покрывает соответствующую конституенту (является ее собственной частью). Из всех простых импликант выбираются вначале только такие, которые только одни покрывают конституенты единицы (в колонке матрицы только один символ покрытия), затем производится перебор.

Пример:

f = 0001 v 0011 v 0101 v 0111 v 1110 v 1111.

Сортируем в группы (по количеству единиц в термах).

Номер группы конституент (количество единиц)	Двоичные номера единицы
1	0001
2	0011, 0101
3	0111, 1110
4	1111 (всегда один элемент)

Далее члены из соседних групп склеиваются, образуя новые группы:

Номер группы	Двоичные номера конституент единицы
1	00-1, 0-01
2	0-11, 01-1
3	-111, 111-

В данном примере также склеиваются снова элементы первой и второй группы (второй таблицы).

Номер группы	Двоичные номера конституент единицы
1	0--1

В итоге, у нас получилось 3 «группы», которые мы заносим в импликантную матрицу и проверяем минимизацию.

Простые импликанты	Конституенты единицы
	0001	0011	0101	0111	1110	1111
0--1	*	*	*	*
-111				*		*
111-					*	*

Исходя из получившихся результатов склеивания мы можем уменьшить количество импликант (в данном примере достаточно двух).

0--1 —>nX1X4;

111- —>X1X2X3.

f = nX1X4 VX1X2X3