Минор. Алгеброическое дополнение.
Минором некоторого элемента aij определителя n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент. Обозначается mij
Алгебраическим дополнением элемента aij определителя называется его минор, взятый со знаком «плюс», если сумма i + j — четное число, и со знаком «минус», если эта сумма нечетная. Обозначается
Aij: Aij=(-1)i+j*mij.
Так A11=+m11,A32=-m32.
Свойство 1. («Разложение определителя по элементам некоторого ряда»). Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения.
Проиллюстрируем и одновременно докажем свойство 1 на примере определителя 3-его порядка. В этом случае свойство 1 означает, что
В самом деле, имеем
Свойство 1 содержит в себе способ вычисления определителей высоких порядков.
Свойство 2. Сумма произведений элементов какого-либо ряда определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.
Так, например, a11A21+a12A22+a13A23=0.
Невырожденные матрицы. Союзная Матрица. Обратная матрица.
Квадратная матрица А называется невырожденной, если определитель матрицы (Δ = det A) не равен нулю (Δ = det A ≠ 0). В противном случае (Δ = 0) матрица А называется вырожденной.
(союзная, взаимная, присоединённая) матрица — матрица, составленная из алгебраических дополнений для соответствующих элементов транспонированной матрицы. Из определения следует, что присоединённая матрица рассматривается только для квадратных матриц и сама является квадратной, ибо понятие алгебраического дополнения вводится для квадратных матриц.
Исходная матрица:
Где:
C * — присоединённая (союзная, взаимная) матрица;
Aij — алгебраические дополнения исходной матрицы;
aij — элементы исходной матрицы.
Обра́тная ма́трица — такая матрица A−1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:
Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матрицобратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввести псевдообратные матрицы, похожие на обратные по многим свойствам.
Нахождение с помощью матрицы алгебраических дополнений
CT — транспонированная матрица алгебраических дополнений;
Обратная матрица. Свойства обратной матрицы.
Обра́тная ма́трица — такая матрица A−1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:
Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матрицобратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввести псевдообратные матрицы, похожие на обратные по многим свойствам.
Обратная матрица. Достаточное условие существования обратной матрицы.
1.
2.
3.
Для того чтобы матрица имела обратную достаточно того, чтобы она была
невырождена.
Нахождение с помощью матрицы алгебраических дополнений
CT — транспонированная матрица алгебраических дополнений;