55. Однополостный, двухполостный гиперболоиды.

Однополостный гиперболоид.

Пересекая поверхность плоскостью z=h, получим линию пересечения, уравнения

которой имеют вид.

Полуоси достигают своего наименьшего значения при h=0, a₁=a, b₁

=b. При возрастании |h| полуоси будут увеличиваться.

Если пересекать поверхность плоскостями x=h или y=h, то в сечении получим

гиперболы. Найдем линию пересечения поверхности с плоскостью Oyx, уравнение

которой x=0. Эта линия пересечения описывается уравнениями:

Поверхность имеет форму бесконечно расширяющейся трубки и называется

однополостным гиперболоидом.

Двуполостный гиперболоид.

Если поверхность пересечь плоскостями z=h, то линия пересечение уравнениями

Если |h|<c, то плоскости z=h не пересекаются.

Если |h|=c, то плоскости h=±c касаются данной поверхности соответственно в

точках (0;0;с) и (0;0;-с).

Если |h|>c, то уравнения можно переписать в виде:

Эти уравнения определяют эллипс, полуоси которого возрастают с ростом |h|.

У обеих гипербол действительной осью является ось oz. Метод сечения позволяет

изобразить поверхность, состоящую из двух полостей, имеющих форму двух

неограниченных чаш. Поверхность называется двуполостным гиперболоидом.

56. Эллиппсический и гипперболический параболоиды.

Эллиптический.

При пересечении поверхности координатами плоскостями Oxz и Oyz получается

соответственно параболы

и . Таким образом,

поверхность, определяемая уравнением, имеет вид выпуклой, бесконечно

расширяющейся чаши.

Гиперболический.

Рассечем поверхность плоскостями z=h. Получим кривую

которая при всех h≠0 является гиперболой. При h>0 ее действительные оси

параллельны оси Ox, при h<0 – параллельные оси Oy. При h=0 линия

пересечения распадается на пару пересекающихся прямых:

При пересечении поверхности плоскостями, параллельности плоскости Oxz (y=h),

будут получаться параболы, ветви которых направлены вверх.

57. Конус второго порядка.

Конус.

Поверхность, образованная прямыми линиями, проходящими через данную точку Р и

пересекающими данную плоскую линию L (не проходящую через Р) называется

конической поверхностью или конусом. При этом линия L называется

направляющей конуса, точка Р – ее вершиной, а прямая, описывающая

поверхность, называется образующей.

- уравнение конуса

Цилиндр.

Поверхность, образованная движением прямой L, которая перемещается в

пространстве, сохраняя постоянное направление и пересекая каждый раз некоторую

кривую К, называется цилиндром. При этом кривая К называется

направляющей цилиндра, а прямая L – образующая.

- уравнение цилиндра

Решение системы уравнений с использованием обратной матрицы.

Найти работу силы:

Взаимное расположение двух прямых на плоскости.

   Этот вопрос уже обсуждался в предыдущей лекции, когда обауравнения данных прямых записывались в каноническом или параметрическом виде. Пусть сейчас оба уравнения прямых записаны в общем виде.

Теорема. Пусть

     и 

– общие уравнения двух прямых на координатной плоскости Оху. Тогда

1) если  , то прямые   и   совпадают;

2) если  , то прямые    и 

    параллельные;

3) если  , то прямые пересекаются.

   Доказательство. Условие   равносильно коллинеарности нормальных векторов данных прямых:

. Поэтому, если  , то   и прямыепересекаются.

   Если же  , то  ,  ,   иуравнение прямой   принимает вид:

 или  , т.е. прямые совпадают. Заметим, что коэффициент пропорциональности  , иначе все коэффициенты общего уравнения были бы равны нулю, что невозможно.

   Если же прямые не совпадают и не пересекаются, то остается случай  , т.е. прямые параллельны.

Теорема доказана.

   Заметим, что если прямые пересекаются, то для нахождения координатих точки пересечения достаточно решить систему двух уравнений сдвумя неизвестными:

                             .                               (4)

Следствие. Пусть   – определитель системы (4). Если  , то прямые пересекаются в одной точке и система (4) имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера:

                                   ,                                (5)

где  ,  .

Если  , то прямые или параллельны и тогда система (4) не имеет решений, или прямые совпадают и тогда система (4) имеет бесконечно много решений.

   Доказательство. По определению определителя второго порядка

                       .

Если  , то   и  , т.е. прямые пересекаются икоординаты точки пересечения можно найти по формулам Крамера (5).

Если же  , то   и  , т.е. либо прямые параллельны и тогда система не может иметь ни одного решения, либо прямыесовпадают и тогда система (4) состоит из одного уравнения и решениями такой системы являются координаты любой точки, лежащей на прямой, а их бесконечно много.

следствие доказано.

Пример. Выяснить взаимное расположение двух прямых

                 и 

 и если они пересекаются, найти их точку пересечения.

Решение. Решим систему

                                      .

Определитель системы

                          ,

следовательно прямые пересекаются. Вычисляем координаты точки пересечения:

,  ,

,  .

Ответ. Прямые пересекаются в точке  .