5 Уравнения прямой проходящей через точку, уравнения прямой проходящей через 2 точки

1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку A(x₁, y₁) в данном направлении, определяемом угловым коэффициентом k,

y - y₁ = k(x - x₁).     

Это уравнение определяет пучок прямых, проходящих через точку A(x₁, y₁), которая называется центром пучка.

2. Уравнение прямой, проходящей через две точки: A(x₁, y₁) и B(x₂, y₂), записывается так:

     

Угловой коэффициент прямой, проходящей через две данные точки, определяется по формуле

     

6 Определители 2 и 3 порядков, алгебраические дополнения и миноры

Детерминантом (или определителем) квадратной матрицы 2-го порядка называется число то есть он равен произведению элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали.

Пример.

Детерминантом (или определителем) квадратной матрицы 3-го порядка называется число

Существует правило, облегчающее составление выражения, стоящего в правой части формулы для :

Нахождение определителя матрицы по указанному правилу называется правилом Саррюса или правилом треугольников.

С положительным знаком берется произведение элементов матрицы, стоящих на главной диагонали и произведения элементов, находящихся в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны главной диагонали; со знаком «минус» – произведение элементов, стоящих на побочной диагонали, а также произведения элементов, находящихся в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны побочной диагонали.

Пример.

Определитель матрицы 3-го порядка может быть выражен через определители 2-го порядка формулой следующего вида:

, называемой разложением определителя по первой строке.

Минором   элемента   матрицы  n-го  порядка называется определитель матрицы  (n-1)-го порядка, полученный из матрицы  А вычеркиванием  i-й строки и  j-го столбца.

При выписывании определителя  (n-1)-го порядка, в исходном определителе элементы находящиеся под линиями в расчет не принимаются.

Пример 1. Составить минор  , полученную из исходной матрицы:

Решение:

.

II. Алгебраические дополнения

Алгебраическим дополнением  А_ij  элемента а_ij матрицы  n-го порядка называется его минор, взятый со знаком, зависящий от номера строки и номера столбца:

то есть алгебраическое дополнение совпадает с минором, когда сумма номеров строки и столбца – четное число, и отличается от минора знаком, когда сумма номеров строки и столба – нечетное число.

Пример 1. Найти алгебраические дополнения всех элементов матрицы

Решение:

 

7 Вектор в трёхмерном пространстве. Векторное произведение векторов .

Вектором называется направленный отрезок, то есть отрезок, у которого указаны начало (называется также точкой приложения вектора) и ко­нец.

Вектор с началом в точке и концом в точке обозначается и изображается стрелкой, обращенной острием к концу вектора.

Длина направленного отрезка, изо­бражающего вектор, называется длиной, или модулем, вектора. Длина вектора обозначается .

Нулевой вектор ( ) - вектор, начало и конец которого совпадают; его модуль равен , а направление неопределенное. Нулевой вектор, например , изображается одной точкой (точка ).

Вектор, длина которого равна единице или принята за единицу, называется единичным вектором.

Система координат — объект, позволяющий описывать геометрический объект алгебраическими средствами.

Декартова прямоугольная система координат.

— начало координат, три взаимно перпендикулярных, пересекающихся в точке оси , — единичные направляющие векторы координатных осей (орты); другое обозначение .

— абсцисса, — ордината, — аппликата.

— радиус-вектор точки . Другое обозначение координат .

Пусть на плоскости задана декартова система координат .

Тогда вектор может быть задан двумя числами: и .

Эти числа и в геометрии называют координатами вектора, а в физике – проекциями вектора на соответствующие оси координат.

При таком определении вектора его модуль , а направление задается углом , который однозначно определяется соотношениями: и .

Векторное произведение .