3 Комплексные числа. Формулы муавра и эйлера

Во множестве действительных чисел не имеют решения простейшие квадратные уравнения, например, . Математики пришли к необходимости расширения множества действительных чисел путем присоединения к нему числа (которое назвали «мнимой единицей»), такого, чтобы , и чтобы в новом множестве можно было всегда извлечь квадратный корень. Новое множество назвали множеством комплексных чисел .

С включением пришлось ввести числа вида , где и , где .

Получившиеся при этом числа были названы комплексными, так как содержали как действительную часть , так и чисто мнимую часть .

Комплексным числом будем называть упорядоченную пару действительных чисел , записанную в форме , где - новый объект ("мнимая единица"), для которого при вычислениях полагаем .

Запись называется алгебраической формой записи комплексного числа.

Два комплексных числа и равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части: .

Множество комплексных чисел неупорядочено, т.е. для комплексных чисел не вводятся отношения "больше" или "меньше".

Геометрически комплексное число изображается как точка с координатами на плоскости. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью .

Формулы сокращённого умножения:

Для всех целых неотрицательных чисел , функция , называется биномиальным коэффициентом. Читается: С из n по k (или n над k).

Пример.

Число сочетаний из элементов по : .

Формула Муавра для комплексных чисел   утверждает, что

для любого 

Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа   выполнено следующее равенство:

,

где   — основание натурального логарифма,

 — мнимая единица.

4 Комплексные числа. Алгебраическое тригонометрическое и показательное формы комплексных чисел

Показательная форма комплексного числа

Формулой Эйлера связаны   и  :  .

Поэтому от тригонометрической формы комплексного числа можно перейти к показательной форме

.                                                   (1.7)

 

Тогда   

Складывая и вычитая, легко получить

 

.                            (1.8)

 

Пример 1.5. Записать числа из примера 4 в показательной форме.

Решение.

а)  ;

б)  ;

в)  .

Операции над комплексными числами в алгебраической форме

Сложение и умножение комплексных чисел производится по правилам сложения и умножения алгебраических многочленов; учитывая при этом, что    ,   и т. д.

1. Суммой двух комплексных чисел   называется число   такое, что справедливы равенства  ,  , т. е.

 

.                            (1.9)

 

Обозначение:  .

Правило сложения. При сложении комплексных чисел складываются действительные и мнимые части соответственно

Пример 1.6. Найти сумму чисел   и  , где  ,  .

Решение.  .

2. Разностью комплексных чисел   называется число   такое, что справедливы равенства  ,  , т.е.

 

.                       (1.10)

 

Обозначение:  .

Правило вычитания. При нахождении разности комплексных чисел  из действительной и мнимой частей уменьшаемого   вычитаются соответственно действительная и мнимая части вычитаемого.

 

Пример 1.7. Найти разность чисел   и  , где  ,  .

Решение.  .

3. Произведением чисел   называется число   такое, что справедливы равенства  ,  . Обозначение:  .

Нетрудно убедиться, что эти равенства имеют место, если произвести формальное перемножение выражений   как двучленов:

 

       _(1.11)

 

Правило умножения. Комплексные числа перемножаются как двучлены, при этом учитывается, что  .

Пример 1.8. Найти произведение чисел   и  .

Решение.

.

 

Замечание.    .

Результат замечания можно сформулировать как свойство: произведение сопряженных комплексных чисел – число действительное.

4. Частным от деления числа   ( ) называется число  , такое, что справедливо равенство  . Обозначение:  .

Правило деления. Чтобы разделить число   ( ), следует числитель и знаменатель дроби   умножить на число  , сопряженное знаменателю:

 

.                                 (1.12)

 

Пример 1.9. Найти частное от деления числа   на  .

Решение.

.

 

Операции над комплексными числами в тригонометрической форме

Пусть

,

тогда

;                           (1.13)

.                             (1.14)

 

Пример 1.10. Дано:  и  . Найти произведение  .

Решение.                  ,  ;

,  ;

Формула Муавра:  .

 

;                                   (1.15)

 

;          (1.16)

 

 имеет   позиций в области комплексных чисел.

Из формулы (1.16) видно, что все   различных значений величины   имеют один и тот же модуль, равный  . А так как  , то точки, соответствующие значениям  , являются вершинами правильного  -угольника, вписанного в окружность радиуса  , с центром в начале координат.

 

Пример 1.11. Найти все значения комплексно числа  .

Решение.

;         

;   .

 

Операции над комплексными числами в показательной форме.

Пусть   и  , тогда

;                                        (1.17)

;                                           (1.18)

;                                                (1.19)

.                           (1.20)

Пример 1.12. Вычислить  .

Решение.

;    ;