1. Множества и действия над ними. Элементы математической логики.

Понятие множества является одним из основных в математике.

Множество можно определить как совокупность объектов, объединённых по определённому признаку.

Объекты, составляющие множество, являются его элементами.

Обычно множества обозначаются: A, B, C…

Элементы, в него входящие малыми буквами: a, b, c…

А={1,2,3,4…}

Если элемент х входит в множество Х, то используется запись

х ∈ Х(х принадлежит к Х)

х ∉ Х (х не принадлежит к Х)

Множество, в котором не содержится ни одного элемента называется пустым и обозначается ∅

Суммой (или объединением) множеств А и B называется совокупность элементов, входящих хотя бы в одно из множеств А или B.

Сумма множеств А и B обозначается А ∪ B

Пример: пусть даны 2 множества А и B. Множество А, состоящее из элементов

А={1,2,3} и B ={2,3,4}

С= А ∪ B={1,2,3}∪{2,3,4}={1,2,3,4}

Множество С, которому принадлежат те и только те элементы, которые являются общими для множеств А и B (элементы, которые входят в оба этих множества) называются перечислением множеств А и B и обозначается А ⋂ B

С= А ⋂ B={2,3} (из примера выше)

Наглядно операции над множествами можно иллюстрировать в виде кругов (круги Эйлера)

А

В

В

А

В

А

Множество А содержится Объединение множеств Пересечение множеств А и В

в множестве В

При записи математических выражений целесообразно употреблять логическую символику.

При записи «любое х из множества Х» кратко пишут ∀ х ∈ Х, где ∀ (квантор общности) означает от английского any- любой.

Вместо выражения «существует х из Х» ∃ х ∈ Х (знак ∃ кванта существования )

из английского existence –существование.

ДОПИСАТЬ

2. Уравнения прямой в отрезках по осям. Угол между двумя прямыми. Расстояние от точки до прямой.

1 Уравнение прямой в отрезках-это уравнение вида:

где а и в величины направленных отрезков, отсекаемых соответственно на оси Ох и Оу.

Например: написать уравнение прямой отсекаемой на осях координат отрезки, величины которых соответственно равны 3 и -5.

х\3+у\-5=1

х\3-у\5=1

у

3

х

-5

2 Если прямые заданы общими уравнениями

A₁x + B₁y + C₁ = 0

A₂x + B₂y + C₂ = 0

то угол φ между ними вычисляется по формуле:

(народ в знаменателе вместо б 1 квадрат нужно а 2 квадрат и вместо а 2 квадрат б 1 квадрат)

Или tg(w)=(А1В2-А2В1)\(А1А2+В1В2) –дробью

Условие перпендикулярности этих прямых имеет вид

А1А2+В1В2=0

Условие параллельности

А1\А2=В1\В2 ≠С1\С2

Пример:

1. Найти угол между двумя прямыми х+у-9=0 и х-6у+5=0

Тангенс фи=(1*(-6)-1*1)\(1*1+1*(-6))=7\5

Фи=арктангенс (7\5)

2. Доказать что прямые 3х-15у+16=0 и 6х-30у+13=0 параллельны

3\6=-15\-30≠16\13 следовательно параллельны

3. 30х+6у+6=0 и 6х-30у+13=0 доказать перпендикулярность

30*6+6*(-30)=0 следовательно перпендикулярны

Условия перпендикулярности и параллельности соблюдаются, т к тождества верны

3 Расстояние точки A(x1, y1) до прямой Ax + By + C = 0:

Пример:

Точка М (-2,-3) и уравнение 8х+5у+27=0

Д=(l8*(-2)+5*(-3)+27l)\корень 8 в квадрате+5 в квадрате=l-4l\корень 89=4\корень 89