Лекции, разбитые по вопросам экзамена (2008) / 22

Математическое введение к групповым кодам. Разложение группы по подгруппе. Смежные классы, их число.

Группа – множество элементов G – такое, что для каждой пары элементов определена операция сложения и выполняются следующие аксиомы:

1. Аксиома замкнутости

2. Ассоциативность

3. Существование нейтрального элемента (ноль группы)

4. Обратный элемент

Если кроме всего прочего то – коммутативная группа (Абелева).

Число элементов группы называется порядком группы.

Группа конечна, если множество ее элементов конечно.

– подгруппа группы G, если само является группой относительно операции, наследуемой из G. ()

Для того чтобы убедиться, что подмножество является подгруппой нужно убедиться в том что:

1. Сумма 2-х элементов лежит в подгруппе

2. Каждый элемент в подгруппе содержит обратный элемент.

– левый смежный класс группы по подгруппе , – образующий элемент

– правый смежный класс

Для абелевой группы .

Смежные классы либо полностью совпадают, либо не содержат ни одного общего элемента.

Один из смежных классов – сама подгруппа.

Число различных смежных классов(индекс): .

Разложение группы G по подгруппе А на различные смежные классы:

элемент, который не вошел ни в один ранее образованный смежный класс

сложение с каждым элементом подгруппы

Операции продолжаем до тех пор, пока не будут исчерпаны все элементы.

Пример.

0000	0100	1000	1100
0001	0101	1001	1101
0010	0110	1010	1110
0011	0111	1011	1111

Разложение разрядных двоичных чисел по разрядным двоичным числам: число смежных классов будет равняться .