
Математическое введение к групповым кодам. Разложение группы по подгруппе. Смежные классы, их число.
Группа – множество элементов G – такое, что для каждой пары элементов определена операция сложения и выполняются следующие аксиомы:
-
Аксиома замкнутости
-
Ассоциативность
-
Существование нейтрального элемента (ноль группы)
-
Обратный элемент
Если кроме всего прочего то
– коммутативная группа (Абелева).
Число элементов группы называется
порядком группы.
Группа конечна, если множество ее элементов конечно.
– подгруппа группы G,
если
само является группой относительно
операции, наследуемой из G.
(
)
Для того чтобы убедиться, что подмножество является подгруппой нужно убедиться в том что:
-
Сумма 2-х элементов лежит в подгруппе
-
Каждый элемент в подгруппе содержит обратный элемент.
–
левый смежный класс группы
по подгруппе
,
– образующий элемент
–
правый смежный класс
Для абелевой группы .
Смежные классы либо полностью совпадают, либо не содержат ни одного общего элемента.
Один из смежных классов – сама подгруппа.
Число различных смежных классов(индекс):
.
Разложение группы G по подгруппе А на различные смежные классы:
элемент,
который не вошел ни в один ранее
образованный смежный класс
сложение с каждым элементом подгруппы
Операции продолжаем до тех пор, пока не будут исчерпаны все элементы.
Пример.
0000 |
0100 |
1000 |
1100 |
0001 |
0101 |
1001 |
1101 |
0010 |
0110 |
1010 |
1110 |
0011 |
0111 |
1011 |
1111 |
Разложение разрядных
двоичных чисел по
разрядным
двоичным числам: число смежных классов
будет равняться
.