Поисковая оптимизация

Область математики, исследующая вопросы теории и методы решения задач условной оптимизации получило название математического программирования.

Если целевая функция и ограничения являются нелинейными функциями управляемых параметров, то имеем задачу нелинейного программирования. Если же они являются линейными функциями, то задача линейного программирования.

Линия равного уровня (изолиния) – линия, в которой функция принимает постоянное значение.

Этапы вычислительного процесса при оптимизации

1. Выбрать начальную точку поиска.

Общее время решения задачи на ЭВМ

Т_м = Т_м1 (n₁ + n₂)n₃

Т_м1 – затраты времени на анализ одного варианта работы объекта.

n₁ и n₂ – количество вариантов анализа работы объекта на этапе вычисления целевой функции и на этапе определения направления поиска.

n₃ – количество шагов поиска.

Значения n₁, n₂ и n₃ характеризуют эффективность поиска их ещё называют потерями на поиск. Кроме потерь на поиск к показателям эффективности алгоритма поиска относят точность определения экстремальной точки и надёжность поиска, понимаемую как вероятность получения решения задачи с заданной точностью.

Критерии оптимальности

1. Частный критерий – в качестве целевой функции выбирается один наиболее важный параметр. Все остальные относят к ограничениям.

F(X) = y_k(x)

max y_k(x); X € XД

2. Мультипликативный критерий

y ⁺ _i >TT_i ; y ^- _j <TT_j

F(X) = П_iy_i⁺/ П_jy_j^-

max F(X)

Недостатки:

1. Невозможность управлять вкладом отдельного параметра целевой функции.

2. Не учитываются технические требования.

3. Аддитивный критерий

y ⁺ _i >TT_i ; y ^- _j <TT_j

F(X) =

max F(X)

Недостатки: 1) отсутствие выходных параметров с условиями работоспособности типа равенств;

2) Не учитывает конкретных требований тз в коэффициентах влияния. Max f(X).

4. Максиминные (минимаксные) критерии.

y_j <TT_j

y_i > TT_i заменяют на y_i1 =- y_i <TT_i

y_k = TT_k ±∆ y_k заменяют на y_k < TT_k +∆ y_k

y_{k 1} = -y_k < TT_k +∆ y_k

Введём количественную оценку степени выполнения j условия работоспособности S_j :

S_j(X) = (TT_j – y_j)/TT_j

F(X) = min S_i(X) j € [1; m] – функция минимума.

max min S_i(X); Х€ ХД; i € [1; n]

Аналогично можно ввести функцию максимума и минимизировать её.

В этом случае минимаксный критерий:

min max S_i(X); Х€ ХД; i € [1; n]

Особенность: целевая функция не гладкая, может иметь точки разрыва, в которых не вычисляется производная.

5) Статистический критерий

Статистический критерий имеет цель достижения максимальной вероятности Р выполнения условий работоспособности F(X) = P;

max P(X); Х€ ХД

Применение статистического критерия позволяет добиться наименьшего процента брака при серийном производстве спроектированных изделий, т.е. получить максимальную серийнопригодность изделия.

Классификация поисковых методов оптимизации

Различают методы безусловной и условной, локальной и глобальной оптимизации. Подавляющее большинство методов позволяет найти безусловный локальный экстремум.

1. Метод сканирования.

Находим max F(X); объём вычислений k^N

С помощью локальных методов с высокой степенью надёжности можно определить глобальный экстремум, если его область притяжения составляет не менее нескольких процентов от объёма всей области ХД. Для этого следует несколько раз повторить локальный поиск с различных случайно выбранных исходных точек.

Методы оптимизации классифицируются по способу выбора направления очередного шага.

В методах первого порядка используется информация о первых производных целевой функции по управляемым параметрам.

В методах второго порядка используется информация о вторых производных.

В методах нулевого порядка учитываются лишь значения целевой функции.

Методы нулевого порядка.