Экзаменационные вопросы по математике / 33. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда

33. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда.

Признак Вейерштрасса:

Если числовой ряд с неотрицательными членами сходится и для членов функционального ряда при всех и всех справедливы оценки

,

то ряд сходится абсолютно и равномерно в области

Говорят в этом случае, что числовой ряд «мажорирует» исходный функциональный ряд, а сам числовой ряд называют мажорантным.

Существует простой признак для проверки равномерной сходимости(принак Вейерштрасса)

Можно рассматривать  и при этом сохраняется терминология числовых рядов, связанная с абсолютной и условной сходимостью.

Как и в рядах, абсолютная сходимость сильнее сходимости: из абсолютной сходимости вытекает сходимость.

Теорема (Вейерштрасс):

, ,  — сходится. Тогда  равномерно сходится на .

Доказательство:

Применим критерий Коши:

  

Сопоставляя с предыдущим неравенством, которое верно ,

. Тогда, по критерию Коши, ряд равномерно сходится.