Экзаменационные вопросы по математике / 8. Однородная система алгебраических уравнений. Необходимое и достаточное условия существования ненулевых решений.

8. Однородная система алгебраических уравнений. Необходимое и достаточное условия существования ненулевых решений. Понятие фундаментальной системы решений однородной системы уравнений (ФСР). Ее общее решение.

Особенность однородной системы алгебраических уравнений в том, что она всегда совместна.

Тривиальное решение: x1=x2=…=xn=0.

При исследовании однородных систем необходимо выяснить, когда, кроме тривиальных решений, есть нетривиальные.

Запишем систему в сокращенной (матричной) форме.

=

A=0

Предположим, что нетривиальное решение существует: r=RangA<n. (n-r) – линейная зависимость строк, столбцов.

Выделяем минор порядка r. Оставшиеся уравнения (n-r) – линейная комбинация базисных r строк, т.е. эти уравнения можно вычислить как следствие базисных. После этого осталось r линейно независимых строк (уравнений).

минор не равен 0.

Перенесем неизвестные, не входящие в базисный минор направо. Они называются свободными. А те, которые в базисном, x1, x2, …, xr – главные неизвестные.

Если переменным справа придать любые значения, то по правилу Крамера x1, x2, …, xr будут иметь одно однородное определенное значение. Таким образом, можно получить всевозможные решения системы.

=

Если r<n, то система имеет бесконечно много решений, которые можно записать в виде векторных столбцов. А к векторам применима линейная независимость. Согласно линейной независимости векторов, решения будут линейно независимы, когда существует такая их линейная комбинация C1X1+C2X2+…=0, в которой коэффициент C=0.