Экзаменационные вопросы по математике / Шпоры по математике

1) Определитель. Определение и свойства. Понятие перестановки. Чётность перестановки. Разложение определителя по элементам строки и столбца.

Определитель (детерминант) А n-ого порядка квадратной матрицы А – называется сумма всевозможных произведений из n элементов матрицы, взятых из каждой строки и каждого столбца со знаком, определяющим выражение (-1)ti+tj, где ti – чётность перестановки из индексов строк, а tj – чётность перестановки из индексов столбцов.

Det A = ∑(-1)ti+tjai1j1*ai2j2*ai3j3*…*ainjn.

Перестановкой из n чисел (элементов) называется упорядоченное расположение этих чисел друг за другом.

Инверсия перестановки – изменение порядка следования (большее число идёт за меньшим).

Если общее число инверсий чётное, то перестановка чётная, а если общее число инверсий нечётное – то перестановка нечётная.

Свойства перестановок.

взаимное изменение положение 2х элементов перестановки называется транспозицией.

abcd ->dbca

Утверждение: 1 транспозиция меняет чётность перестановки.

1) Соседние – ai1, ai2, …, aik, aij, …, ain -> ai1, ai2, …, aik, aij, …, ain

2) Несоседние - ai1, ai2, …, aik, aik+1, aik+2 ,…,

aik +p, …, ain - p соседних транспозиций +p-1 = 2p-1

элементов.

Утверждение: Все n! перестановок из n чисел могут быть расположены последовательно друг за другом так, что каждая последующая перестановка получится из предыдущей путём 1 транспозиции.

Доказательство (метод индукции). 1) n=2 – Утверждение верно.

1 2

2 1

2) Если предположить, что утверждение верно для числа n-1, то из этого следует его справедливость для числа n.

i1,i2,i3,…,in

-зафиксируем 1 элемент и совершим возможные перестановки n-1.

-затем зафиксируем 2 элемент. Осталось n-2

перестановок и т.д.

Из этого следует, что любые 2 перестановки могут быть получены из любой другой конечным числом транспозиций.

n! – всегда чётное число -> если расположить члены друг за другом, то количество чётных перестановок = количеству нечётных.

Вывод: в каждом определителе число отрицательных членов = числу положительных.

Свойства определителей.

Транспонирование не меняет определителя. (Транспонирование – взаимная замена строк и столбцов.)

=

Возьмём любой член определителя (- 1)ti+tjai1j1*ai2j2*ai3j3*…*ainjn.

Из вида любого члена определителя видно, что при транспонировании они не меняются.

det AT = det A

1)Если в определителе поменять местами 2

строки, то знак определителя поменяется на противоположный.

Доказательство: Берём произвольный член определителя. Взаимное расположение -> поменялись первые 2 индекса -> чётность изменилась -> изменился знак.

2) Если в определителе 2 строки (столбца)

одинаковы, то det = 0.

Если 2 одинаковые строки поменять местами, то ничего не меняется, но по св-ву 2 знак меняется. Это происходит, если =0. ( =- , 2 =0, =0)

3)Если в определителе есть 2 пропорциональные строки, то он тоже = 0.

после того, как k вынесен, 2 строки равны. По св-ву 3 =0.

4) Если в некоторой строке определителя все

элементы в виде 1 и той же комбинации чисел, а именно k-я строка (αck1 + βdk1 + αck2+ βdk2) = α|ck1+ck2…+ckn|+β|dk1+dk2… +dkn|.

5)Если в любой строке определителя прибавить любую другую строку с противоположным коэффициентом, то определитель не изменится.

6)Если строка в определителе состоит из нулей, то определитель = 0.

7)Если какая-либо строка определителя есть линейная комбинация других строк, то определитель = 0.

1 = (a11,a1n)

2 = (a21,a2n)

n = (an1,ann)

Пусть k есть линейная комбинация остальных

k = α1 1 + α22 +…+ αk-1k-1 + αk+1k+1 +…+ αn

n

В соответствии со свойством 7 определитель равен сумме этих определителей, равных нулю. Количество определителей = (n-1)и в каждой из которых имеются одинаковые строки.

Разложение определителя по элементам строки или столбца.

Минором элемента определителя aik называется определитель n-1 порядка, получающийся вычёркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент aik.

Алгебраическим дополнением Аik элемента определителя aik называется Aik = (-1)i+kMik.

Теорема. Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки на их алгебраические дополнения.

det A = ak1Ak1+ak2Ak2+…+aknAkn =

1)Доказательство: Пусть определитель имеет вид:

=

a11

Определитель 1 порядка, полученный вычёркиванием 1 строки и 1 столбца.

Тем самым, для 1 случая теорема доказана.

2)Пусть определитель имеет вид:

= (-1)j

an1 an2 an3 an4 … anm

Передвинем последовательными шагами столбец этого элемента akj (столбец с номером j) влево до занятия им места 1 столбца. При этом определитель при каждом шаге меняет знак и итоге приобретает множитель (-1)j и приобретает вид:

anj an1 an2 an3 … anm

Далее перемещаем строку с номером k вверх последовательно, пока она не займёт место 1ой строки, т.е. определитель будет иметь вид:

anj an1 an2 an3 … anm

При этом определитель приобретает ещё один множитель (-1)k. В итоге

anj an1 an2 an3 … anm

Мы пришли к 1 случаю, для которого справедливость была доказана.

det A = (-1)j+kakjMkj+0*Ak1+…+0*Ak2 *…*0*Akn

3)Общий случай.

=(-1)k+1ak1Mk1+(-1)k+2ak2Mk2+…+(-1)k+naknMkn

Это правило вычисления определителя называется разложением по I строке (столбцу).

2) Равенство нулю суммы произведений элементов строки (столбца, алгебраическое дополнение другой строки (столбца)).

Сумма произведений элементов какой-либо строки на алгебраическое дополнение другой строки равна нулю, т.е. :

(*) аk1Аj1+ аk2Аj2+…+ аknАjn=0 Доказательство:

Ввыражении (*) коэффициент Аjm получились вычёркиванием j-ой строки -> аjmА не зависят от тех чисел, которые могут стоять в j-ой строке.

Вопределителе (**) на место j-ой строки поставим k-ую строчку. Тогда этот определитель равен det А = аk1Аj1+

аk2Аj2+…+ аknАjn

Но это равенство равно нулю, так как определитель имеет две одинаковые строки. Ч.т.д.

3) Ранг матрицы. Вычисление ранга методом окаймляющих миноров.

Пусть имеется прямоугольная матрица nхm .

Минором K-ого порядка матрицы А (k<m,k<n) называется определитель, получающийся из элементов, стоящих на пересечении каких-либо строк и каких-либо столбцов.

Рангом матрицы называется целое, положительное число r=Rang А, такое, что в данной матрице

присутствует хотя бы один минор порядка r≠0, а все миноры следующего порядка (r+1 и далее) =0.

Метод окаймления миноров.

Если в матрице найден отличный от нуля минор k-ого порядка, то все миноры k+1 порядка считать не обязательно, так как имеет место теорема:

Если все окаймляющие данный минор k-ого порядка миноры k+1 порядка равны нулю, то и все вообще миноры k+1 –ого порядка = 0.

Найдём окаймляющие миноры 3-его порядка для M2 : (положим, М2≠0)

4) Теорема о базисном миноре. Понятие линейно независимых строк (столбцов) определителя. Необходимое и достаточное условие равенства 0 определителя.

При нахождении ранга матрицы минор порядка r (ранг матрицы) называется базисным.

Все строки матрицы являются линейными комбинациями строк базисного минора. (к столбцам относится то же самое).

Доказательство:

Берём любую строку с номером произвольным k. Ставим её под базисный минор. Вправо от минора ставим произвольный столбец с номером j. Рассмотрим минор Mr+1, окаймляющий базисный снизу. K-ой строкой, справа k-ым столбцом.

Разложим его:

Mr+1=0=c1a1j+ c2a2j+ crarj+ Arakj |:Ar (Ar≠0) Akj=-c1*a1j/Ar- c2*a2j/Ar+…- cr*arj/Ar

Так как akj – координаты вектора строки с номером k, это вернодля любого столбца (коэффициенты ci/Ar одинаковы для любого j) -> сам вектор

строка ak=-c1a1/Ar- c2a1/Ar -crar/Ar Следствие из теоремы о базисном миноре:

Определитель матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда ранг матрицы <n (порядок квадратной матрицы)

Доказательство:

а11 а21

аm1 аm2 … аmn

det A = 0 Rang A < n

8) Необходимость: дано: det A = 0,

доказать: Rang A<n

Так как det A = 0, то по карйней мере одна из строк есть линейная комбинация строк. Это значит, что число линейно независимых строк < n. Число линейно независимых строк и есть Rang A -> r<n

9) Достаточность: дано: Rang A<n,

доказать: det A = 0

Так как Rang A<n, а ранг – число линейно независимых строк, то в А число линейно независимых строк <n. Значит, по крайней мере одна из строк есть линейная комбинация остальных, а это значит, что det A = 0 (по св-вам определителя).

Ранг матрицы равен числу линейно независимых строк (столбцов), так как если методом Гаусса с помощью элементарных преобразований привести матрицу к виду трапеции, то оставшиеся строки являются линейно независимыми.

Рассмотрим строки как векторы (координаты aij (j=1,2,3…n))

1=(а11, а12, а13,…,а1n);

2=(а21, а22, а23,…,а2n);

m=(аm1, аm2, аm3,…,аmn);

Строки называются линейно независимыми, если они линейно независимы в смысле векторов, т.е.

единственная линейная комбинация векторов, равная 0, это та, все коэффициенты нули.

Линейная комбинация – с11 + с22 + … + сmm равна

нулю тогда и только тогда, когда все числовые коэффициенты с1 = с2 = сn = 0. Тогда векторы линейно независимы.

Если вектор – линейная комбинация остальных, то система линейно зависима: ak= с11 + с22 + … + сk-1

k-1 + сk+1k+1 + сnn

5) Системы линейных алгебраических уравнений. Правило Крамера.

х1, х2, …, хn – неизвестные

aik – постоянные коэффициенты

10) Кмножаем каждую строку системы на алгебраическое дополнение 1-ого элемента строки.

11)Сложим уравнения.

*x1 +

*x2 + …

12) Поступим так же со вторым столбцом. (каждый элемент строки умножаем на А второго элемента

строки). Слева получим х2 , справа -

2 Если определитель системы ≠0, то система имеет, и

притом единственное, решение, даваемое формулами крамера:

– определитель системы, составленный из коэффициентов при неизвестных.

i – определитель, получаемый из определителя системы заменой столбца коэффициентов при неизвестном определяемом столбце свободных членов. Если определитель системы = 0:

Если хотя бы один i ≠ 0, то система несовместна (ᴓ) (решений нет)

Если все i = 0, то решение существует и их бесконечно много. Система несовместна и называется неопределённой.

В случае неопределённой системы не все числа х1, х2, … , хn можно брать произвольными, так как даже если одно уравнение осталось в системе, а все остальные – следствие из него, то это уравнение связывает между собой переменные, а это и значит, что все их брать произвольными нельзя.

6) Необходимое и достаточное условие совместимости системы. Теорема Кронекера – Капелле.

Система совместна тогда и только тогда, когда Rang А, составленный из коэффициентов при неизвестных,

равен Rang Yрасширенной матрицы, т.е. матрицы, которая получена из матрицы A присоединением к ней столбца свободных членов.

Rang A = Rang Вектор столбец

(*) a1x1 + a2x2 +…+ anxn =b

1) Необходимость: Дано: совместная система, доказать: Rang A = Rang

Доказательство: Так как система совместна, то есть, имеет решение, то существует такой набор чисел x1=c1 , x2=c2 , xn=cn , при подставлении которых в систему (*) получится верное равенство. Следовательно, b есть линейная комбинация остальных столбцов.

1x1 + 2x2 +…+ nxn =

-> линейная комбинация столбцов . Если в матрице

один столбец является линейной комбинацией остальных, то при добавлении к матрице А этого столбца, её Rang не меняется, т.е. Rang A = Rang

2) Достаточность:

Дано: Rang A = Rang Доказать: система (*) совместна.

Доказательство: Матрицы A и отличаются только и

т.к. их ранги равны, то дабавление к А не меняет её

ранга. Значит, этот столбец – линейная комбинация остальных столбцов. Т.е. существует такие числа c1, c2,

c3,…,cn, что 1c1+ 2c2+…+ncn= . Но это и есть

система (*)

-> (*) удовлетворилась при x1=c1, x2=c2, xn=cn ч.т.д. Т.е. с1,с2,сn – решения системы.

7) Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических систем уравнений.

уравнений с неизвестными . Выпишем

элементарных операций к матрице добиться, чтобы каждая строка, кроме, быть может, первой, начиналась с нулей, и число нулей до первого ненулевого элемента в каждой следующей строке было больше, чем в предыдущей. Находим первый ненулевой

столбец в матрице . Пусть это будет столбец с

номером . Находим в нем ненулевой элемент и строку с этим элементом меняем местами с первой строкой. Чтобы не нагромождать дополнительных обозначений,

будем считать, что такая смена строк в матрице

,к третьей строке прибавим первую,

восстанавливая систему уравнений по расширенной матрице, получим, что -ое уравнение будет иметь вид

Этому уравнению не удовлетворяет ни один набор

По отношению к матрице выполняем описанный шаг алгоритма. Получаем матрицу

гд

е , . Эту матрицу снова можно записать в виде

и к матрице снова применим описанный выше шаг алгоритма.

Процесс останавливается, если после выполнения очередного шага новая уменьшенная матрица состоит из одних нулей или если исчерпаны все строки. Заметим, что заключение о несовместности системы могло остановить процесс и ранее. Если бы мы не уменьшали матрицу, то в итоге пришли бы к матрице вида

Далее выполняется так называемый обратный ход

метода Гаусса. По матрице составляем систему уравнений. В левой части оставляем неизвестные с номерами, соответствующими первым ненулевым

элементам в каждой строке, то есть .

Заметим, что . Остальные неизвестные переносим в правую часть. Считая неизвестные в правой части некоторыми фиксированными величинами, несложно выразить через них неизвестные левой части. Теперь, придавая неизвестным в правой части произвольные значения и вычисляя значения переменных левой части, мы будем находить различные

решения исходной системы . Чтобы записать общее решение, нужно неизвестные в правой части обозначить в каком-либо порядке буквами

,включая и те неизвестные,

которые явно не выписаны в правой части из-за нулевых коэффициентов, и тогда столбец неизвестных можно записать в виде столбца, где каждый элемент будет линейной комбинацией произвольных величин

(в частности, просто произвольной

величиной ). Эта запись и будет общим решением системы. Если система была однородной, то получим общее решение однородной системы. Коэффициенты

систему решений однородной системы можно получить и другим способом. Для этого одному переменному, перенесенному в правую часть, нужно присвоить значение 1, а остальным -- нули. Вычислив значения переменных в левой части, получим одно решение из фундаментальной системы. Присвоив другому переменному в правой части значение 1, а остальным -- нули, получим второе решение из фундаментальной системы и т.д. Замечание 15.4 У читателя может возникнуть вопрос: "Зачем рассматривать случай, когда

некоторые столбцы матрицы нулевые? Ведь в этом случае соответствующие им переменные в системе уравнений в явном виде отсутствуют." Но дело том, что в некоторых задачах, например, при нахождении собственных чисел матрицы, такие системы возникают, и игнорировать отсутствующие переменные нельзя, так как при этом происходит потеря важных для задачи.

8) Однородная система алгебраических уравнений. Необходимое и достаточное условия существования ненулевых решений. Понятие фундаментальной системы решений однородной системы уравнений (ФСР). Еѐ общее решение.

Особенность однородной системы алгебраических уравнений в том, что она всегда совместна.

Тривиальное решение: x1=x2=…=xn=0.

При исследовании однородных систем необходимо выяснить, когда, кроме тривиальных решений, есть нетривиальные.

Запишем систему в сокращенной (матричной) форме.

=

A=0

Предположим, что нетривиальное решение существует: r=RangA<n. (n-r) – линейная зависимость строк, столбцов.

Выделяем минор порядка r. Оставшиеся уравнения (n-r) – линейная комбинация базисных r строк, т.е. эти уравнения можно вычислить как следствие базисных. После этого осталось r линейно независимых строк (уравнений).

минор не равен 0.

Перенесем неизвестные, не входящие в базисный минор направо. Они называются свободными. А те, которые в базисном, x1, x2, …, xr – главные неизвестные.

Если переменным справа придать любые значения, то по правилу Крамера x1, x2, …, xr будут иметь одно однородное определенное значение. Таким образом, можно получить всевозможные решения системы.

=

Если r<n, то система имеет бесконечно много решений, которые можно записать в виде векторных столбцов. А к векторам применима линейная независимость. Согласно линейной независимости векторов, решения будут

линейно независимы, когда существует такая их линейная комбинация C1X1+C2X2+…=0, в которой коэффициент C=0.

9) Общее решение неоднородной системы линейных алгебраических уравнений.

(*)

Система неоднородна, если хотя бы одно из чиел bn не равно 0.

Запишем систему (*) в векторном виде:

A=

Утверждение:

Два различных решения неоднородной системы могут отличаться только на решение однородной системы, т.е.: пусть Y1 – решение неоднородной системы;

пусть Y2 – решение неоднородной системы;

тогда Y1-Y2=решение однородной системы. Доказательство:

Т.к. AY1=B, AY2=B Вычитаем: AY1-AY2=0

A(Y1-Y2)=0, т.е. Y1-Y2= решение однородной системы.

Т.е. если мы имеем одно решение неоднородной системы Y, то любое другое решение отличается на решение однородной системы.

Одно какое-то решение Y – частное решение неоднородной системы.

Все решения неоднородной системы получим прибавив к Y общее решение соответствующей однородной системы.

однородных систем.

Найдем частное решение:

=Y0+C1X1+C2X2+…Cn-rXn-r=

Проще всего получить частное решение неоднородной системы, положив все свободные члены справа равными 0, т.е.:

Отсюда по правилу Крамера получим единственные решение для y1, y2, …, yr, т.е. частное решение, которое имеет вид:

Таким образом, общее решение неоднородной системы имеет вид:

10) Первообразная функции. Свойства первообразной. Теорема об общем виде первообразной.

Если на некотором промежутке задана функция f(x), а функция F(x) на этом же промежутке дифференцируема и в каждой точке F’(x)=f(x), то функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на этом промежутке.

Пример: Предположим, имеется функция:

– множество всех значений этой функции. Пусть

Предположим теперь, что нам требуется вычислить

Интегрирование путем замены переменной

Замена:

Интегрирование по частям

дифференцируема на множестве и, кроме того, на этом множестве существует первообразная для функции . Тогда на множестве

Замечание: Определение дифференциала и свойство инвариантности его формы позволяет записать

формулу в виде Для доказательства утверждения запишем формулу для

13) Интегрирование рациональных функций. Теорема о разложении дробно-рациональной функции на элементарные дроби. Интегрирование элементарных функций.

многочленов.

Из неправильной можно выделить правильную путем деления (то, что получилось + остаток / то, на что делили)

P (x )

Интегрирование правильной дроби - Q (x )

Теорема. Если многочлен, стоящий в знаменателе, имеет

кратность корня) (α >=1)

х=а называется корнем многочлена Q(x), если Q(a)=0.

Теорема Безу. Остаток R от деления многочлена Q(x) на двучлен (x-a) равен R=Q(a).

φ (x) – многочлен, степень на 1 меньше Q(x)

Q( x)=φ(x ) ( x−a )+ R

Положим х=а, следовательно, Q(a)=R

Пример. Не производя деления найдем остаток от деления многочлена Q( x)=2x4−x3+ 3x2−5x+ 3 на

(х-1). Q(1)=2-1+3-5+3=2

Следствие. Если многочлен Q(x) имеет корень а, то есть Q(a)=0, то его можно представить в виде Q( x)=(x−a)m φ( x) , где φ (а)!=0

Разделим Q(x) на (х-а), получим φ(х)+R, по теореме Безу R=Q(a)=0, то есть Q(x)=(x-a)φ(x)

Q(x)=(x-a)(x-b)(x-c)...

P (x )

Теорема. Если Q (x ) - правильная алгебраическая дробь, знаменатель которой Q(x) имеет корень а кратности α>=1, то

(x−a) ψ (x) ψ (x )

(x −a)α φ( x) = (x −a)α φ( x) ч.т.д.

(P (x )− A φ( x)=Φ ( х))

А возьмем таким образом, чтобы Р(а)-А*φ(а)=0, т. е.

AP (a)

=ψ (a ) , следовательно, многочлен Φ имеет корень

Q1 (x )=(x−b)β φ1 ( x)

В частности, если b=a, то есть Q1(x) имеет корень а, то

Ζ(дзета )+ ...

x−b

Если а — комплексный корень множества Q(x), то корнем будет и комплексное сопряженное число, то есть a=α+iβ,

x1,2=−b±√ b2−4ac

2a

Если D=b2 −4ac< 0 , то 2 комплексных корня

x1,2=−b±i √ D

2a

Q( x)=(x−a) (x −̄a) φ(x ) = =

(x2−(a+ ā) x+ a ā) φ( x) = (x2−2αx+ α2+ β2) φ( x)

Q( x)=(x2+ px + q)γ φ(x )

Доказательство аналогичное.

Вывод. Всякая правильная алгебраическая дробь может быть разложена на сумму элементарных дробей: