Экзаменационные вопросы по математике / 33. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда

33. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда.

Признак Вейерштрасса:

∞

Если числовой ряд с неотрицательными членами åan сходится и для членов

n=1

то ряд сходится абсолютно и равномерно в области X .

∞

Говорят в этом случае, что числовой ряд åan «мажорирует» исходный

n=1

функциональный ряд, а сам числовой ряд называют мажорантным. Существует простой признак для проверки равномерной сходимости(принак Вейерштрасса)

Можно рассматривать и при этом сохраняется терминология числовых рядов, связанная с абсолютной и условной сходимостью.

Как и в рядах, абсолютная сходимость сильнее сходимости: из абсолютной сходимости вытекает сходимость.

Теорема (Вейерштрасс):

, , — сходится. Тогда равномерно сходится на .

Доказательство:

Применим критерий Коши:

Сопоставляя с предыдущим неравенством, которое верно ,

. Тогда, по критерию Коши, ряд равномерно сходится.