1) Определитель. Определение и свойства. Понятие перестановки. Чётность перестановки. Разложение определителя по элементам строки и столбца.
Определитель (детерминант) А n-ого порядка квадратной матрицы А – называется сумма всевозможных произведений из n элементов матрицы, взятых из каждой строки и каждого столбца со знаком, определяющим выражение (-1)ti+tj, где ti – чётность перестановки из индексов строк, а tj – чётность перестановки из индексов столбцов.
Det A = ∑(-1)ti+tjai1j1*ai2j2*ai3j3*…*ainjn.
Перестановкой из n чисел (элементов) называется упорядоченное расположение этих чисел друг за другом.
Инверсия перестановки – изменение порядка следования (большее число идёт за меньшим).
Если общее число инверсий чётное, то перестановка чётная, а если общее число инверсий нечётное – то перестановка нечётная.
Свойства перестановок.
взаимное изменение положение 2х элементов перестановки называется транспозицией.
abcd ->dbca
Утверждение: 1 транспозиция меняет чётность перестановки.
-
Соседние – ai1, ai2, …, aik, aij, …, ain -> ai1, ai2, …, aik, aij, …, ain
-
Несоседние - ai1, ai2, …, aik, aik+1, aik+2 ,…, aik +p, …, ain - p соседних транспозиций +p-1 = 2p-1
-
1
2
3
…
…
n
n(n+1)(n+2)…*1=n! (произведение последовательных натуральных чисел)
-
Транспозиция несоседних элементов.
Утверждение: Все n! перестановок из n чисел могут быть расположены последовательно друг за другом так, что каждая последующая перестановка получится из предыдущей путём 1 транспозиции.
Доказательство (метод индукции).
1) n=2 – Утверждение верно.
1 2
2 1
2) Если предположить, что утверждение верно для числа n-1, то из этого следует его справедливость для числа n.
i1,i2,i3,…,in
- зафиксируем 1 элемент и совершим возможные перестановки n-1.
- затем зафиксируем 2 элемент. Осталось n-2 перестановок и т.д.
Из этого следует, что любые 2 перестановки могут быть получены из любой другой конечным числом транспозиций.
n! – всегда чётное число -> если расположить члены друг за другом, то количество чётных перестановок = количеству нечётных.
Вывод: в каждом определителе число отрицательных членов = числу положительных.
Свойства определителей.
Транспонирование не меняет определителя. (Транспонирование – взаимная замена строк и столбцов.)
=
Возьмём любой член определителя (-1)ti+tjai1j1*ai2j2*ai3j3*…*ainjn.
Из вида любого члена определителя видно, что при транспонировании они не меняются.
det AT = det A
-
Если в определителе поменять местами 2 строки, то знак определителя поменяется на противоположный.
Доказательство: Берём произвольный член определителя. Взаимное расположение -> поменялись первые 2 индекса -> чётность изменилась -> изменился знак.
-
Если в определителе 2 строки (столбца) одинаковы, то det = 0.
Если 2 одинаковые строки поменять местами, то ничего не меняется, но по св-ву 2 знак меняется. Это происходит, если △=0. (△=-△, 2△=0, △=0)
-
Если в определителе есть 2 пропорциональные строки, то он тоже = 0.
det
= k
det
после того, как k вынесен, 2 строки равны. По св-ву 3 △ =0.
-
Если в некоторой строке определителя все элементы в виде 1 и той же комбинации чисел, а именно k-я строка (αck1 + βdk1 + αck2+ βdk2) = α|ck1+ck2…+ckn|+β|dk1+dk2…+dkn|.
-
Если в любой строке определителя прибавить любую другую строку с противоположным коэффициентом, то определитель не изменится.
-
Если строка в определителе состоит из нулей, то определитель = 0.
-
Если какая-либо строка определителя есть линейная комбинация других строк, то определитель = 0.
1
= (a11,a1n)
2
= (a21,a2n)
n
= (an1,ann)
-
1Det A=
2
n
Пусть
k
есть линейная комбинация остальных
k
= α1
1
+ α2
2
+…+ αk-1
k-1
+ αk+1
k+1
+…+ αn
n
В соответствии со свойством 7 определитель равен сумме этих определителей, равных нулю. Количество определителей = (n-1)и в каждой из которых имеются одинаковые строки.
Разложение определителя по элементам строки или столбца.
Минором элемента определителя aik называется определитель n-1 порядка, получающийся вычёркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент aik.
Алгебраическим дополнением Аik элемента определителя aik называется Aik = (-1)i+kMik.
Теорема. Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки на их алгебраические дополнения.
det
A = ak1Ak1+ak2Ak2+…+aknAkn =
-
Доказательство: Пусть определитель имеет вид:
=
a11
Определитель 1 порядка, полученный вычёркиванием 1 строки и 1 столбца.
Тем самым, для 1 случая теорема доказана.
-
Пусть определитель имеет вид:
=
(-1)j
an1 an2 an3 an4 … anm
Передвинем последовательными шагами столбец этого элемента akj (столбец с номером j) влево до занятия им места 1 столбца. При этом определитель при каждом шаге меняет знак и итоге приобретает множитель (-1)j и приобретает вид:
anj an1 an2 an3 … anm
Далее перемещаем строку с номером k вверх последовательно, пока она не займёт место 1ой строки, т.е. определитель будет иметь вид:
anj an1 an2 an3 … anm
При этом определитель приобретает ещё один множитель (-1)k. В итоге
anj an1 an2 an3 … anm
Мы пришли к 1 случаю, для которого справедливость была доказана.
det A = (-1)j+kakjMkj+0*Ak1+…+0*Ak2 *…*0*Akn