Экзаменационные вопросы по математике / 1. Определитель. Определение и свойства. Понятие перестановки
..pdf
1. Определитель. Определение и свойства. Понятие перестановки. Чётность перестановки. Разложение определителя по элементам строки и столбца.
Определитель (детерминант) А n-ого порядка квадратной матрицы А – называется сумма всевозможных произведений из n элементов матрицы, взятых из каждой строки и каждого столбца со знаком, определяющим выражение (-1)ti+tj, где ti – чётность перестановки из индексов строк, а tj – чётность перестановки из индексов столбцов.
Det A = ∑(-1)ti+tjai1j1*ai2j2*ai3j3*…*ainjn.
Перестановкой из n чисел (элементов) называется упорядоченное расположение этих чисел друг за другом.
Инверсия перестановки – изменение порядка следования (большее число идёт за меньшим).
Если общее число инверсий чётное, то перестановка чётная, а если общее число инверсий нечётное – то перестановка нечётная.
Свойства перестановок:
Взаимное изменение положение 2х элементов перестановки называется транспозицией. abcd ->dbca
Утверждение: 1 транспозиция меняет чётность перестановки.
1)Соседние – ai1, ai2, …, aik, aij, …, ain -> ai1, ai2, …, aik, aij, …, ain
2)Несоседние - ai1, ai2, …, aik, aik+1, aik+2 ,…, aik +p, …, ain - p соседних транспозиций +p-1 = 2p-1
1 
2 
3 
… 
… 
n 
n(n+1)(n+2)…*1=n! (произведение последовательных натуральных чисел) Транспозиция несоседних элементов:
Утверждение: Все n! перестановок из n чисел могут быть расположены последовательно друг за другом так, что каждая последующая перестановка получится из предыдущей путём 1 транспозиции.
Доказательство (метод индукции):
1)n=2 – Утверждение верно. |1 2| |2 1|
2)Если предположить, что утверждение верно для числа n-1, то из этого следует его справедливость для числа n.
i1,i2,i3,…,in
- зафиксируем 1 элемент и совершим возможные перестановки n-1. - затем зафиксируем 2 элемент. Осталось n-2 перестановок и т.д.
Из этого следует, что любые 2 перестановки могут быть получены из любой другой конечным числом транспозиций.
n! – всегда чётное число -> если расположить члены друг за другом, то количество чётных перестановок = количеству нечётных.
Вывод: в каждом определителе число отрицательных членов = числу положительных.
Свойства определителей.
Транспонирование не меняет определителя. (Транспонирование – взаимная замена строк и столбцов.)
=
Возьмём любой член определителя (-1)ti+tjai1j1*ai2j2*ai3j3*…*ainjn.
Из вида любого члена определителя видно, что при транспонировании они не меняются. det AT = det A
1)Если в определителе поменять местами 2 строки, то знак определителя поменяется на противоположный.
Доказательство: Берём произвольный член определителя. Взаимное расположение -> поменялись первые 2 индекса -> чётность изменилась -> изменился знак.
2) Если в определителе 2 строки (столбца) одинаковы, то det = 0.
Если 2 одинаковые строки поменять местами, то ничего не меняется, но по св-ву 2 знак меняется. Это происходит, если =0. ( =- , 2 =0, =0)
3) Если в определителе есть 2 пропорциональные строки, то он тоже = 0. det = k det 
после того, как k вынесен, 2 строки равны. По св-ву 3 =0.
4)Если в некоторой строке определителя все элементы в виде 1 и той же комбинации чисел, а именно k-я строка (αck1 + βdk1 + αck2+ βdk2) = α|ck1+ck2…+ckn|+β| dk1+dk2…+dkn|.
5)Если в любой строке определителя прибавить любую другую строку с противоположным коэффициентом, то определитель не изменится.
6)Если строка в определителе состоит из нулей, то определитель = 0.
7)Если какая-либо строка определителя есть линейная комбинация других строк, то определитель = 0.
1 = (a11,a1n)
2 = (a21,a2n) n = (an1,ann)
1
Det A=
2
n
Пусть k есть линейная комбинация остальных:
k = α1 1 + α2
2 +…+ αk-1
k-1 + αk+1
k+1 +…+ αn
n
В соответствии со свойством 7 определитель равен сумме этих определителей, равных нулю. Количество определителей = (n-1)и в каждой из которых имеются одинаковые строки.
Разложение определителя по элементам строки или столбца.
Минором элемента определителя aik называется определитель n-1 порядка, получающийся вычёркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент aik.
Алгебраическим дополнением Аik элемента определителя aik называется Aik = (- 1)i+kMik.
Теорема. Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки на их алгебраические дополнения.
det A = ak1Ak1+ak2Ak2+…+aknAkn = 
1) Доказательство: Пусть определитель имеет вид:
=
a11
Определитель 1 порядка, полученный вычёркиванием 1 строки и 1 столбца. Тем самым, для 1 случая теорема доказана.
2) Пусть определитель имеет вид:
= (-1)j
an1 an2 an3 an4 … anm
Передвинем последовательными шагами столбец этого элемента akj (столбец с номером j) влево до занятия им места 1 столбца. При этом определитель при каждом шаге меняет знак и итоге приобретает множитель (-1)j и приобретает вид:
anj an1 an2 an3 … anm
Далее перемещаем строку с номером k вверх последовательно, пока она не займёт место 1ой строки, т.е. определитель будет иметь вид:
anj an1 an2 an3 … anm
При этом определитель приобретает ещё один множитель (-1)k. В итоге
anj an1 an2 an3 … anm
Мы пришли к 1 случаю, для которого справедливость была доказана. det A = (-1)j+kakjMkj+0*Ak1+…+0*Ak2 *…*0*Akn
3) Общий случай.
a1 |
a1 |
… |
a1 |
1 |
2 |
|
m |
… |
… … … |
||
ak |
ak |
… |
ak |
1 |
2 |
|
m |
… |
… … … |
||
an |
an |
… |
an |
1 |
2 |
|
m |
=(-1)k+1ak1Mk1+(-1)k+2ak2Mk2+…+(-1)k+naknMkn
Это правило вычисления определителя называется разложением по I строке (столбцу).