Экзаменационные вопросы по математике / 32. Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда

32. Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда.

Критерий Коши:

∞

Для того, чтобы функциональный ряд åun (x) сходился равномерно в области X ,

n=1

необходимо и достаточно , чтобы для любого ε > 0 и x X существовало N = N (ε) , не зависящее от x X , такое, что для всех n > N и p =1, 2, 3, неравенство

un+1(x) +un+2 (x) + +un+p (x) <ε

выполняется сразу для всех x X .

На практике для установления равномерной сходимости рядов часто используется простой и эффективный Признак Вейерштрасса.

Ряд равномерно сходится на

Доказательство:

Пусть ряд равномерно сходится.

, где — сумма ряда. Тогда:

По определению равномерной сходимости,

.

В силу предыдущего неравенства, , то есть, выполняется условие критерия Коши.

Пусть выполняется условие критерия Коши.

для выполняется критерий Коши сходиммости числовых рядов. Значит, этот ряд сходится. На всем определена его сумма. Осталось установить равномерную сходимость ряда.

Значит, определение равномерной сходимости проверено.