Экзаменационные вопросы по математике / 2. Равенство нулю суммы произведений элементов строки

2. Равенство нулю суммы произведений элементов строки (столбца, алгебраическое дополнение другой строки (столбца)).

Сумма произведений элементов какой-либо строки на алгебраическое дополнение другой строки равна нулю, т.е. :

(*) аk1Аj1+ аk2Аj2+…+ аknАjn=0

Доказательство:

Рассмотрим определитель:

	…	…	…	…
j-я строка	aj1	aj2		ajn	= аj1Аj1+ аj2Аj2+…+ аjnАjn (**)
k-я строка	ak1	ak2		akn

В выражении (*) коэффициент Аjm получились вычёркиванием j-ой строки -> аjmА не зависят от тех чисел, которые могут стоять в j-ой строке.

В определителе (**) на место j-ой строки поставим k-ую строчку. Тогда этот определитель равен det А = аk1Аj1+ аk2Аj2+…+ аknАjn

Но это равенство равно нулю, так как определитель имеет две одинаковые строки. Ч.т.д.