Экзаменационные вопросы по математике / 9. Общее решение неоднородной системы линейных алгебраических уравнений

9. Общее решение неоднородной системы линейных алгебраических уравнений.

(*)

Система неоднородна, если хотя бы одно из чиел bn не равно 0.

Запишем систему (*) в векторном виде:

= = A=

A=

Утверждение:

Два различных решения неоднородной системы могут отличаться только на решение однородной системы, т.е.:

пусть Y1 – решение неоднородной системы;

пусть Y2 – решение неоднородной системы;

тогда Y1-Y2=решение однородной системы.

Доказательство:

Т.к. AY1=B, AY2=B

Вычитаем:

AY1-AY2=0

A(Y1-Y2)=0, т.е. Y1-Y2= решение однородной системы.

Т.е. если мы имеем одно решение неоднородной системы Y, то любое другое решение отличается на решение однородной системы.

Одно какое-то решение Y – частное решение неоднородной системы.

Все решения неоднородной системы получим прибавив к Y общее решение соответствующей однородной системы.

Если Y частное имеет вид =Y0, то:

, где , , …, – образованыиз решений однородных систем.

Найдем частное решение:

Проще всего получить частное решение неоднородной системы, положив все свободные члены справа равными 0, т.е.:

Отсюда по правилу Крамера получим единственные решение для y1, y2, …, yr, т.е. частное решение, которое имеет вид:

Таким образом, общее решение неоднородной системы имеет вид:

=Y0+C1X1+C2X2+…Cn-rXn-r=+C1+C2+Cn-r