Экзаменационные вопросы по математике / 13. Интегрирование рациональных функций. Теорема о разложении дробно-рациональной функции на элементарные дроби. Интегри

13. Интегрирование рациональных функций. Теорема о разложении дробно-рациональной функции на элементарные дроби. Интегрирование элементарных функций.

P(x)

Q(x) - алгебраическая дробь, отношение 2х многочленов.

Из неправильной можно выделить правильную путем деления (то, что получилось + остаток

/ то, на что делили)

P(x)

Интегрирование правильной дроби - Q(x)

Теорема. Если многочлен, стоящий в знаменателе, имеет корень x=a, то есть представленный в виде Q( x)=( x−a)α φ( x) (φ(a)!=0) (α - кратность корня) (α >=1)

х=а называется корнем многочлена Q(x), если Q(a)=0.

Теорема Безу. Остаток R от деления многочлена Q(x) на двучлен (x-a) равен R=Q(a).

φ (x) – многочлен, степень на 1 меньше Q(x)

Q( x)=φ(x) ( x−a)+ R

Положим х=а, следовательно, Q(a)=R

Пример. Не производя деления найдем остаток от деления многочлена Q( x)=2x4−x3+ 3x2−5x+ 3 на (х-1).

Q(1)=2-1+3-5+3=2

Следствие. Если многочлен Q(x) имеет корень а, то есть Q(a)=0, то его можно представить в виде Q( x)=(x−a)m φ( x) , где φ (а)!=0

Разделим Q(x) на (х-а), получим φ(х)+R, по теореме Безу R=Q(a)=0, то есть Q(x)=(x-a)φ(x) Q(x)=(x-a)(x-b)(x-c)...

(x−a) ψ(x) ψ(x)

(x−a)α φ( x) = (x−a)α φ( x) ч.т.д.

( P ( x)− A φ( x)=Φ( х))

P(a)

А возьмем таким образом, чтобы Р(а)-А*φ(а)=0, т. е. A= ψ(a) , следовательно, многочлен Φ имеет корень а, значит, по теореме Безу Φ(x)=( x−a)k ψ( x) , где ψ(а)!=0

Ζ (дзета)

x−b + ...

Если а — комплексный корень множества Q(x), то корнем будет и комплексное сопряженное число, то есть a=α+iβ,

Например. D<0

ax2+ bx+ c . Его корень x1,2=−b±√b2−4ac 2a

Если D=b2−4ac< 0 , то 2 комплексных корня x1,2=−b±i √ D

2a

Q( x)=( x−a) (x−ā) φ( x) = = (x2−(a+ ̄a) x+ āa) φ( x) = (x2−2αx+ α2+ β2) φ( x) Q( x)=(x2+ px+ q)γ φ(x)

Вывод. Всякая правильная алгебраическая дробь может быть разложена на сумму элементарных дробей:

22

1.если q− p4 > 0 , то q− p4 =a2 , следовательно

4. =

1)Пусть , тогда

=

Замена:

=

=

=

=

= = =