Экзаменационные вопросы по математике / 29. Интегральный признак Коши сходимости числового ряда с неотрицательными членами
..pdf
29. Интегральный признак Коши сходимости числового ряда с неотрицательными членами.
Пусть члены знакоположительного числового ряда u1+u2+…+un… (7) не возрастают: u1³u2≥…≥un≥… и пусть f(x) такая положительная, непрерывная, невозрастающая на
промежутке [1;∞) функция, что f(1)=u1, f(2)= u2 ,…, |
f(n)= =un,… . Тогда ряд (7) |
|
|
|
+∞ |
сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом |
ò f (x)dx. |
|
1 |
||
y |
|
|
|
|
|
|
u1 |
|
|
|
|
|
|
u2 |
|
|
|
|
|
|
u3 |
|
|
|
|
|
|
un–1 |
|
|
|
|
|
|
un |
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
n–1 n |
x |
|
Доказательство:
Построим график функции y=f(x) на отрезке [1;n] и построим прямоугольник с основаниями [1;2], [2;3], …, [n-1;n] и высотами u1,u2,…,un-1, а также с высотами u2,u3, …,un.
Sn=u1+u2+…+un-1+un, Sвпис=u2.1+u3.1+…+un.1=u2+u3+…+un=Sn-u1,
Sопис=u1+u2+…+ +un-1=Sn-un.
òn |
f (x)dx |
Площадь криволинейной трапеции S= 1 |
. Получаем |
òn f (x)dx
Sn-u1< 1 < Sn-un. Отсюд:
Sn<u1+ |
òn |
f (x)dx |
|
1 |
|
(17) |
|
|
|
òn |
f (x)dx |
и Sn>un+ 1 |
(18) |
||
|
∞ |
|
|
n |
|
Пусть |
ò f (x)dx |
сходится. Это означает, что существует конечный предел |
lim |
ò f (x)dx |
=Y. |
1 |
n→∞ 1 |
||||
Соотношение (17) принимает вид: Sn<u1+Y при любом n. Это означает, |
что |
|
|
||
последовательность частичных сумм Sn ряда (7) ограничена и, следовательно, ряд (7)
|
∞ |
|
|
n |
|
сходится. Пусть |
ò f (x)dx |
расходится. Это означает, что |
lim |
ò f (x)dx |
=∞ и тогда из (18) |
1 |
n→∞ 1 |
||||
следует, что последовательность частичных сумм Sn ряда (7) неограничена и, следовательно, ряд (7) расходится. Теорема доказана.