Экзаменационные вопросы по математике / 36. Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора. Достаточное условие Разложимости функций в ряд Тейлора

36. Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора. Достаточное условие Разложимости функций в ряд Тейлора.

Определение: Пусть . Тогда ряд называется рядом Тейлора функции в точке . Если , то по формуле

Тейлора: , где - остаточный член формулы Тейлора, т.е. ,

где - n-ая частичная сумма ряда Тейлора функции в точке .ряд Тейлора сходится на тогда и только тогда, когда . теор.: Пусть и

, тогда на

Доказательство: , где - остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа:

.

Рассмотрим ряд , по признаку Даламбера ряд сходится . Перейдем к пределу при в

неравенстве

на .