Экзаменационные вопросы по математике / 4. Теорема о базисном миноре. Понятие линейно-независимых строк (столбцов) определителя. Необходимое и достаточное услов

4. Теорема о базисном миноре. Понятие линейно независимых строк (столбцов) определителя. Необходимое и достаточное условие равенства 0 определителя.

При нахождении ранга матрицы минор порядка r (ранг матрицы) называется базисным.

Все строки матрицы являются линейными комбинациями строк базисного минора. (к столбцам относится то же самое).

Доказательство:

a11	a12	…	a1r	a1j	a1r+1	…	a1n
a21	a22	…	a2r	a2j	a2r+1	…	a2n
a31	a32	…	a3r	a3j	a3r+1	…	a3n
…	…	…	…	…	…	…	…
ar1	ar2	…	arr	arj	arr+1	…	arn
ak1	ak2	…	akr	akj	akr+1	…	akn
am1	am2	…	amr	аmj	amr+1	…	amn

Берём любую строку с номером произвольным k. Ставим её под базисный минор. Вправо от минора ставим произвольный столбец с номером j. Рассмотрим минор Mr+1, окаймляющий базисный снизу. K-ой строкой, справа k-ым столбцом.

Разложим его:

Mr+1=0=c1a1j+ c2a2j+ crarj+ Arakj |:Ar (Ar≠0)

Akj=-c1*a1j/Ar- c2*a2j/Ar+…- cr*arj/Ar

Так как akj – координаты вектора строки с номером k, это вернодля любого столбца (коэффициенты ci/Ar одинаковы для любого j) -> сам вектор

строка ak=-c1a1/Ar- c2a1/Ar -crar/Ar

Следствие из теоремы о базисном миноре:

Определитель матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда ранг матрицы <n (порядок квадратной матрицы)

Доказательство:

а11	а12	…	а1n
а21	а22	…	а2n
аm1	аm2	…	аmn

det A = 0

Rang A < n

1. Необходимость: дано: det A = 0, доказать: Rang A<n

Так как det A = 0, то по карйней мере одна из строк есть линейная комбинация строк. Это значит, что число линейно независимых строк < n. Число линейно независимых строк и есть Rang A -> r<n

2. Достаточность: дано: Rang A<n, доказать: det A = 0

Так как Rang A<n, а ранг – число линейно независимых строк, то в А число линейно независимых строк <n. Значит, по крайней мере одна из строк есть линейная комбинация остальных, а это значит, что det A = 0 (по св-вам определителя).

Ранг матрицы равен числу линейно независимых строк (столбцов), так как если методом Гаусса с помощью элементарных преобразований привести матрицу к виду трапеции, то оставшиеся строки являются линейно независимыми.

а11	а12	…	а1n
а21	а22	…	а2n
аm1	аm2	…	аmn

Рассмотрим строки как векторы (координаты aij (j=1,2,3…n))

1=(а11, а12, а13,…,а1n);

2=(а21, а22, а23,…,а2n);

m=(аm1, аm2, аm3,…,аmn);

Строки называются линейно независимыми, если они линейно независимы в смысле векторов, т.е. единственная линейная комбинация векторов, равная 0, это та, все коэффициенты нули.

Линейная комбинация – с11 + с22 + … + сmm равна нулю тогда и только тогда, когда все числовые коэффициенты с1 = с2 = сn = 0. Тогда векторы линейно независимы.

Если вектор – линейная комбинация остальных, то система линейно зависима: ak= с11 + с22 + … + сk-1k-1 + сk+1k+1 + сnn