Экзаменационные вопросы по математике / 30. Функциональные ряды. Их основные свойства, связанные с понятием равномерной сходимости

30. Функциональные ряды. Их основные свойства, связанные с понятием равномерной сходимости (б/д).

Рассмотрим последовательность функций, определенную на множестве Х:

Пусть т.числовая последовательность.

Равномерная сходимость функциональных рядов.

Для функциональных рядов рассматривается еще один вид сходимости − равномерная сходимость.

Определение:

Функциональный ряд называется равномерно сходящимся в некоторой области Х, если для любого сколь угодно малого числа > 0 можно указать такое целое число N() > 0, зависящее только от e и не зависящее от х, что при всех n > N() неравенство выполняется для всех х из области Х.

Свойства равномерно сходящихся рядов.

1. Сумма S(x) равномерно сходящегося ряда в области Х, где un(x) (n = 1, 2, 3, …) - непрерывные функции, является непрерывной функцией в области Х.

2. Равномерно сходящийся ряд , где un(x) (n = 1, 2, 3, …) -непрерывные функции, можно почленно интегрировать, т.е. справедливо равенство

. (26)

3. Если  ряд 

 ,

составленный из функций, имеющих непрерывные производные , сходится в области C и его сумма равна S(x), а ряд из производных сходится в этой области равномерно, то производная суммы ряда равна сумме ряда из производных:

. (27)

Коротко эту теорему формулируют так:

Если ряд, составленный из производных сходящегося ряда (27), сходится равномерно, то исходный ряд (24) можно почленно дифференцировать.