Экзаменационные вопросы по математике / 12. Интегрирование по частям и заменой переменных

12. Интегрирование по частям и заменой переменных.

Пусть функция определена и дифференцируема на некотором множестве и пусть – множество всех значений этой функции. Пусть далее для функции существует множество первообразная функция . . Тогда всюду на множестве для функции существует первообразная функция, равная , т.е. . Для доказательства достаточно воспользоваться правилом дифференцирования сложной функции: и учесть, что по определению первообразной . Предположим теперь, что нам требуется вычислить интеграл . В качестве новой переменной выберем что причем функция g(t) легко интегрируется, т.е.: просто вычисляется.

Интегрирование путем замены переменной:

Замена:

Интегрирование по частям:

Пусть каждая из функций и дифференцируема на множестве и, кроме того, на этом множестве существует первообразная для функции . Тогда на множестве существует первообразная и для функции , причем справедлива формула:

Замечание: Определение дифференциала и свойство инвариантности его формы позволяет записать формулу в виде

Для доказательства утверждения запишем формулу для производной произведения 2-х функций и : . Умножим равенство на и возьмем интеграл от обеих частей равенства. Так как по условию для всех из множества существует и , то для всех множества существует интеграл , причем справедлива формула: . Эта формула сводит вопрос о вычислении интеграла к вычислению . .