Экзаменационные вопросы по математике / 31. Критерий равномерной сходимости функционального ряда
..pdf
31. Критерий равномерной сходимости функционального ряда.
Определение:
Пусть функции fn (x) и f (x) определены на множестве Х. Говорят, что функциональная последовательность { fn (x)} равномерно сходится к функции f (x) на множестве Х, если для любого ε > 0 существует число N (ε) , не зависящее от х, такое, что для всякого натурального n > N (ε) и любого x X выполняется неравенство fn (x) − f (x) < ε .
Можно также определить равномерную сходимость не в терминах сходимости последовательности частичных сумм, а в терминах остатков ряда.
Определение:
Сходящийся в области X функциональный ряд (12) называется равномерно сходящимся
в этой области, если для ε > 0 |
|
существует не зависящее от x X число N = N (ε) |
||
такое, что для остатка ряда |
|
|
||
∞ |
|
|
||
Rn (x) = åuk (x) |
|
|
||
k =n+1 |
|
|
||
справедливо неравенство |
|
Rn (x) |
|
<ε для всех x X . |
|
|
|||