Экзаменационные вопросы по математике / 25. Числовые ряды. Критерий Коши сходимости числового ряда
...pdf
25. Числовые ряды. Критерий Коши сходимости числового ряда. Следствие: необходимое условие сходимости ряда.
Выражение |
(1) |
где (uk)k N — заданная числовая последовательность, называется числовым рядом. Конечные суммы S1 = u1, S2 = u1 + u2, .... Sn = u1 + u2 +...+ un, называются частичными суммами ряда (1).
Если существует конечный предел последовательности частичных сумм (2)
то ряд (1) называется сходящимся, а число S—суммой ряда (1)
Необходимое условие сходимости: Если ряд (1) сходится, то 
Доказательство:
lim S
Пусть ряд u1+u2+…+un… сходится, то есть существует конечный предел n→∞ n =S. Тогда
имеет место также равенство |
lim S |
n−1 =S, так как при n → ∞ и (n-1) → ∞ . Вычитая почленно |
|||||||||
n→∞ |
|||||||||||
из первого равенства второе, получаем |
lim Sn |
lim S |
n−1 = |
lim(S |
|
− S |
|
) |
lim |
||
n→∞ |
- n→∞ |
n→∞ |
n |
|
n−1 |
|
= n→∞ un=0, что и |
||||
требовалось доказать.
Критерий Коши:
Для того чтобы числовой ряд (1) был сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовало N = N(ε) такое, что для всех n > N и р = 1, 2, … выполнялось неравенство:
Доказательство:
Частный случай:
При 
: 
, следовательно, 
(необходимое условие сходимости ряда).