Экзаменационные вопросы по математике / 27. Признаки Даламбера и Коши сходимости рядов с неотрицательными членами
..pdf
27. Признаки Даламбера и Коши сходимости рядов с неотрицательными членами.
Признак Даламбера:
Пусть дан знакоположительный числовой ряд
u1 + u2 + ... + un (7)
|
lim un+1 |
= p. |
|
|||
и пусть существует предел |
n→∞ |
u |
n |
|
|
При p<1 ряд (7) сходится, при p>1 ряд (7) |
|
|
|
|
|||
расходится. |
|
|
|
|
|
|
Доказательство: |
|
lim un |
|
|||
|
|
= p |
||||
По условию существует предел |
n→∞ v |
n |
. Это означает, что для любого положительного |
|||
|
|
|
||||
числа Е существует такой номер N, что для всех номеров n³N выполняется условие
un+1 − p |
|
< E |
un+1 < p + E. |
|
un |
|
|
или p-E< un |
(10) |
|
Пусть сначала p<1. Выберем Е так, что p+E=q<1. Для всех n³N имеем
uN +3 < q, |
|
|
|
|
|
uN +2 |
… или |
|
|
||
uN +1 |
< uN q,uN +2 |
< uN +1q,uN +3 < uN +2q,... |
|
||
или |
|
|
|
|
|
uN +1 |
< uN q,uN +2 |
< uN q2 ,uN +3 < uN q3... |
(11) |
||
Рассмотрим ряды: |
|
|
|||
uN +1 |
+ uN +2 + uN +3 |
(12) |
|
||
uN 1 |
< q, |
u |
N +2 |
< q, |
+ |
|
|||
uN |
|
uN +1 |
|
|
uN q + uN q2 + uN q3 . |
(13) |
Ряд (13) сходится, так как он является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Тогда ряд (12) сходится, учитывая (11), по признаку сравнения. Ряд (7) сходится по теореме 1.
Пусть теперь p>1. Выберем Е так, что p-E>1. Тогда из левой части неравенства (10)
|
un+1 |
>1 |
следует, что при n³N выполняется |
un |
или un+1>un, то есть члены ряда возрастают с |
|
lim
возрастанием номера n. Поэтому n→∞ un¹0, следовательно, ряд расходится по следствию из необходимого признака сходимости. Теорема доказана.
Замечания:
lim
1. Если расходимость ряда установлена с помощью признака Даламбера, то n→∞ un¹0. 2. При р=1 признак Даламбера не даёт ответа о сходимости ряда. В этом случае нужно применять другие признаки сходимости.
3. Признак Даламбера рекомендуется применять при наличии в выражении общего члена ряда показательной функции или факториала.
Признак Коши: |
|
|
||
Пусть дан знакоположительный числовой ряд u1+u2+…+un… |
(7) |
|||
lim n |
un |
= p. |
При p<1 ряд (7) сходится, при p>1 ряд (7) |
|
и пусть существует предел n→∞ |
||||
расходится.
Доказательство:
По условию существует |
lim n |
un |
= p. |
Это означает, что для любого положительного числа Е |
|||||
n→∞ |
|||||||||
существует такой номер N, что для всех n³N выполняется условие | n |
|
− p | <E или |
|||||||
un |
|||||||||
p-E< n |
|
<p+E. |
|
|
|
|
|
|
|
un |
(14) |
|
|
|
|
|
|
||
Пусть p<1. Выберем Е таким, чтобы выполнялось p+E=q<1. Тогда из (14) получаем n
un <q или un<qn для всех n³N. Рассмотрим ряды
uN + uN +1 + ... |
(15) |
qN + qN +1 + ... |
(16) |
Ряд (16) сходится, так как он является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Ряд (15) сходится, учитывая, что un<qn для всех n³N, по признаку сравнения, следовательно, по теореме 1 сходится ряд (7).
Пусть теперь p>1. Выберем Е так, чтобы выполнялось условие
|
n |
|
|
|
lim |
p-E >1. Тогда из (14) получаем |
u |
n >1 или un>1, следовательно, |
|||
|
|
n→∞ un¹0 и ряд (7) |
|||
расходится по следствию из необходимого признака сходимости. Теорема доказана.