Экзаменационные вопросы по математике / 6. Необходимое и достаточное условие совместимости системы. Теорема Кронекера – Капелле

6. Необходимое и достаточное условие совместимости системы. Теорема Кронекера – Капелле.

Система совместна тогда и только тогда, когда Rang А, составленный из коэффициентов при неизвестных, равен Rang Yрасширенной матрицы, т.е. матрицы, которая получена из матрицы A присоединением к ней столбца свободных членов.

а11	а12	…	а1n	b1
а21	а22	…	а2n	b2
аm1	аm2	…	аmn	b3

Rang A = Rang

Вектор столбец

(*) a1x1 + a2x2 +…+ anxn =b

1) Необходимость: Дано: совместная система, доказать: Rang A = Rang

Доказательство: Так как система совместна, то есть, имеет решение, то существует такой набор чисел x1=c1 , x2=c2 , xn=cn , при подставлении которых в систему (*) получится верное равенство. Следовательно, b есть линейная комбинация остальных столбцов.

1x1 + 2x2 +…+ nxn =

-> линейная комбинация столбцов . Если в матрице один столбец является линейной комбинацией остальных, то при добавлении к матрице А этого столбца, её Rang не меняется, т.е. Rang A = Rang

2) Достаточность:

Дано: Rang A = Rang

Доказать: система (*) совместна.

Доказательство: Матрицы A и отличаются только и т.к. их ранги равны, то дабавление к А не меняет её ранга. Значит, этот столбец – линейная комбинация остальных столбцов. Т.е. существует такие числа c1, c2, c3,…,cn, что 1c1+ 2c2+…+ncn= . Но это и есть система (*)

-> (*) удовлетворилась при x1=c1, x2=c2, xn=cn ч.т.д.

Т.е. с1,с2,сn – решения системы.