Экзаменационные вопросы по математике / 12. Интегрирование по частям и заменой переменных
..pdf
12. Интегрирование по частям и заменой переменных.
Пусть функция 
определена и дифференцируема на некотором множестве 
и пусть 
– множество всех значений этой функции. Пусть далее для функции 
существует множество 
первообразная функция 
. 
. Тогда всюду на множестве 
для функции 
существует первообразная функция, равная 
, т.е. 
. Для доказательства достаточно воспользоваться
правилом дифференцирования сложной функции: 
и учесть, что по определению первообразной 
. Предположим теперь, что нам требуется вычислить интеграл 
. В качестве новой переменной выберем 
что
причем функция g(t) легко интегрируется, т.е.: 
просто вычисляется.
Интегрирование путем замены переменной:
Замена: 
Интегрирование по частям:
Пусть каждая из функций 
и 
дифференцируема на множестве 
и, кроме того, на этом множестве существует первообразная для функции 
. Тогда на множестве 
существует первообразная и для функции 
, причем справедлива формула:
Замечание: Определение дифференциала и свойство инвариантности его формы позволяет записать формулу в виде 
Для доказательства утверждения запишем формулу для производной произведения 2-х функций 
и 
: 
. Умножим равенство на 
и возьмем интеграл от обеих частей равенства. Так как по условию для всех 
из множества 
существует 
и 
, то для всех 
множества 
существует интеграл 
, причем справедлива формула: 
. Эта формула сводит вопрос о вычислении интеграла 
к вычислению 
. 
.