Экзаменационные вопросы по математике / 34. Степенные ряды. Радиус и область сходимости степенного ряда. Теорема Абеля

c0 +c1 x +c2 x 2

∞

+ +cn x n + = åcn x n

(13)

вида (13), так как ряд по степеням (x − x0 )

легко свести к виду (13) заменой

~

x0.

переменных x - x0 = x , т.е. переносом начала координат в точку

Для выяснения характера области сходимости степенного ряда сформулируем

следующую теорему:

Теорема 6.1. (Абеля):

x0 ¹ 0. Тогда он сходится абсолютно в любой

Пусть степенной ряд (13) сходится в точке

точке х, для которой

x

<

x0

, и равномерно в любой области

x

≤r <

x0

. .

Если степенной ряд (13) расходится в точке

x1 , то он расходится и во всех точках x

таких, что

x

>

x1

.

Для определения области сходимости степенного ряда используется либо признак

Даламбера, либо признак Коши.

Рассмотрим степенной ряд:

∞

å

cn x n

.

(14)

n=0

Вычислим предел:

lim

c

n+1

x n+1

=

x

lim

c

n+1

=

x

L

.(15)

cn x n

cn

n→∞

n→∞

Если существует предел

(15), то ряд (14) сходится, если

x

L <1 , и расходится, если

x

L >1 . Следовательно, ряд (14) сходится абсолютно, если

x

<

1

=

1

= lim

cn

L

cn 1

cn=1

,

n→∞

lim

+

n→∞

cn

и расходится, если

x

>

1

= lim

cn

.

L

n→∞

cn+1

Определение:

Число

R =

1

, такое, что для всех x, удовлетворяющих условию

x

<R ряд (13)

L

R =

1

= lim

cn

.

(16)

L

cn+1

n→∞

∞

å

n!

x n

при a >1 .

2

n=1 a n

По признаку Даламбера:

R = lim

n !a(n+1)2

= lim

a 2n+1

= ∞,

n→∞ (n +1) !an2

n→∞ n +1