Экзаменационные вопросы по математике / 25. Числовые ряды. Критерий Коши сходимости числового ряда

25. Числовые ряды. Критерий Коши сходимости числового ряда. Следствие: необходимое условие сходимости ряда.

Выражение(1)

где (u_k)_kÎN — заданная числовая последовательность, называется числовым рядом. Конечные суммы S₁ = u₁, S₂ = u₁ + u₂, .... S_n = u₁ + u₂ +...+ u_n, называются частичными суммами ряда (1).

Если существует конечный предел последовательности частичных сумм (2)

то ряд (1) называется сходящимся, а число S—суммой ряда (1)

Необходимое условие сходимости:

Если ряд (1) сходится, то

Доказательство:

Пусть ряд u1+u2+…+un… сходится, то есть существует конечный предел =S. Тогда имеет место также равенство =S, так как при nи (n-1). Вычитая почленно из первого равенства второе, получаем -= =un=0, что и требовалось доказать.

Критерий Коши:

Для того чтобы числовой ряд (1) был сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 су­ществовало N = N(ε) такое, что для всех n > N и р = 1, 2, … выполнялось неравенство:

Доказательство:

Частный случай:

При : , следовательно, (необходимое условие сходимости ряда).