Вопрос 29 Интегральный признак Коши сходимости числового ряда с неотрицательными членами.

Пусть члены знакоположительного числового ряда u₁+u₂+…+u_n… (7) не возрастают: u₁u₂≥…≥u_n≥… и пусть f(x) такая положительная, непрерывная, невозрастающая на промежутке [1;∞) функция, что f(1)=u₁, f(2)= u₂ ,…, f(n)= =u_n,… . Тогда ряд (7) сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом

Доказательство. Построим график функции y=f(x) на отрезке [1;n] и построим прямоугольник с основаниями [1;2], [2;3], …, [n-1;n] и высотами u₁,u₂,…,u_n-1, а также с высотами u₂,u₃,…,u_n.

S_n=u₁+u₂+…+u_n-1+u_n, S_впис=u₂^.1+u₃^.1+…+u_n^.1=u₂+u₃+…+u_n=S_n-u₁,

S_опис=u₁+u₂+…+ +u_n-1=S_n-u_n.

Площадь криволинейной трапеции S=. Получаем S_n-u₁<< S_n-u_n. Отсюда

S_n<u₁+ (17)

и S_n>u_n+ (18)

Пусть сходится. Это означает, что существует конечный предел =Y. Соотношение (17) принимает вид: S_n<u₁+Y при любом n. Это означает, что последовательность частичных сумм S_n ряда (7) ограничена и, следовательно, ряд (7) сходится. Пусть расходится. Это означает, что =∞ и тогда из (18) следует, что последовательность частичных сумм S_n ряда (7) неограничена и, следовательно, ряд (7) расходится. Теорема доказана.

Вопрос 30 Функциональные ряды. Их основные свойства, связанные с понятием равномерной сходимости (б/д).

Рассмотрим последовательность функций, определенную на множестве Х:

Пусть т.числовая последовательность.

Равномерная сходимость функциональных рядов.

Для функциональных рядов рассматривается еще один вид сходимости − равномерная сходимость.

Определение. Функциональный ряд называется равномерно сходящимся в некоторой области Х, если для любого сколь угодно малого числа > 0 можно указать такое целое число N() > 0, зависящее только от e и не зависящее от х, что при всех n > N() неравенство выполняется для всех х из области Х.

Свойства равномерно сходящихся рядов.

1. Сумма S(x) равномерно сходящегося ряда в области Х, где u_n(x) (n = 1, 2, 3, …) - непрерывные функции, является непрерывной функцией в области Х.

2. Равномерно сходящийся ряд , где u_n(x) (n = 1, 2, 3, …) -непрерывные функции, можно почленно интегрировать, т.е. справедливо равенство

. (26)

3. Если  ряд 

 ,

составленный из функций, имеющих непрерывные производные , сходится в области C и его сумма равна S(x), а ряд из производных сходится в этой области равномерно, то производная суммы ряда равна сумме ряда из производных:

. (27)

Коротко эту теорему формулируют так:

Если ряд, составленный из производных сходящегося ряда (27), сходится равномерно, то исходный ряд (24) можно почленно дифференцировать.

31. Критерий равномерной сходимости функционального ряда.

Определение. Пусть функции иопределены на множестве Х. Говорят, что функциональная последовательность равномерно сходится к функциина множестве Х, если для любого существует число, не зависящее от х, такое, что для всякого натуральногои любоговыполняется неравенство.

Можно также определить равномерную сходимость не в терминах сходимости последовательности частичных сумм, а в терминах остатков ряда.

Определение. Сходящийся в области функциональный ряд (12) называетсяравномерно сходящимся в этой области, если для существует не зависящее отчислотакое, что для остатка ряда

справедливо неравенство для всех.

32. Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда Критерий Коши.) Для того, чтобы функциональный ряд сходился равномерно в областиX , необходимо и достаточно , чтобы для любого исуществовало, не зависящее от, такое, что для всехинеравенство выполняется сразу для всех На практике для установления равномерной сходимости рядов часто используется простой и эффективный Признак Вейерштрасса. Ряд равномерно сходится на

Доказательство:

Пусть ряд равномерно сходится. , где  — сумма ряда. Тогда По определению равномерной сходимости, . В силу предыдущего неравенства, , то есть, выполняется условие критерия Коши.  Пусть выполняется условие критерия Коши.  для  выполняется критерий Коши сходиммости числовых рядов. Значит, этот ряд сходится. На всем  определена его сумма. Осталось установить равномерную сходимость ряда. По условию критерия Коши,  Как и в первой половине доказательства, , но . В неравенстве с   можно подставлять любой фиксированный . Устремим :  Значит, определение равномерной сходимости проверено.