1. Определитель. Определение и свойства. Понятие перестановки. Чётность перестановки. Разложение определителя по элементам строки и столбца.

Определитель (детерминант) А n-ого порядка квадратной матрицы А – называется сумма всевозможных произведений из n элементов матрицы, взятых из каждой строки и каждого столбца со знаком, определяющим выражение (-1)^ti+tj, где ti – чётность перестановки из индексов строк, а tj – чётность перестановки из индексов столбцов.

Det A = ∑(-1)^ti+tja_i1j1*a_i2j2*a_i3j3*…*a_injn.

Перестановкой из n чисел (элементов) называется упорядоченное расположение этих чисел друг за другом.

Инверсия перестановки – изменение порядка следования (большее число идёт за меньшим).

Если общее число инверсий чётное, то перестановка чётная, а если общее число инверсий нечётное – то перестановка нечётная.

Свойства перестановок.

• взаимное изменение положение 2х элементов перестановки называется транспозицией.

abcd ->dbca

Утверждение: 1 транспозиция меняет чётность перестановки.

1. Соседние – a_i1, a_i2, …, a_ik, a_ij, …, a_in -> a_i1, a_i2, …, a_ik, a_ij, …, a_in

2. Несоседние - a_i1, a_i2, …, a_ik, a_ik+1, a_ik+2 ,…, a_{ik +p}, …, a_in - p соседних транспозиций

+p-1 = 2p-1

1

2

3

…

…

n

n(n+1)(n+2)…*1=n! (произведение последовательных натуральных чисел)

• Транспозиция несоседних элементов.

Утверждение: Все n! перестановок из n чисел могут быть расположены последовательно друг за другом так, что каждая последующая перестановка получится из предыдущей путём 1 транспозиции.

Доказательство (метод индукции).

1. n=2 – Утверждение верно.

1 2

2 1

2. Если предположить, что утверждение верно для числа n-1, то из этого следует его справедливость для числа n.

i₁,i₂,i₃,…,i_n

- зафиксируем 1 элемент и совершим возможные перестановки n-1.

- затем зафиксируем 2 элемент. Осталось n-2 перестановок и т.д.

Из этого следует, что любые 2 перестановки могут быть получены из любой другой конечным числом транспозиций.

n! – всегда чётное число -> если расположить члены друг за другом, то количество чётных перестановок = количеству нечётных.

Вывод: в каждом определителе число отрицательных членов = числу положительных.

Свойства определителей.

Транспонирование не меняет определителя. (Транспонирование – взаимная замена строк и столбцов.)

=

Возьмём любой член определителя (-1)^ti+tja_i1j1*a_i2j2*a_i3j3*…*a_injn.

Из вида любого члена определителя видно, что при транспонировании они не меняются.

det A^T = det A

1. Если в определителе поменять местами 2 строки, то знак определителя поменяется на противоположный.

Доказательство: Берём произвольный член определителя. Взаимное расположение -> поменялись первые 2 индекса -> чётность изменилась -> изменился знак.

2. Если в определителе 2 строки (столбца) одинаковы, то det = 0.

Если 2 одинаковые строки поменять местами, то ничего не меняется, но по св-ву 2 знак меняется. Это происходит, если △=0. (△=-△, 2△=0, △=0)

3. Если в определителе есть 2 пропорциональные строки, то он тоже = 0.

det = k det

после того, как k вынесен, 2 строки равны. По св-ву 3 △ =0.

4. Если в некоторой строке определителя все элементы в виде 1 и той же комбинации чисел, а именно k-я строка (αck1 + βdk1 + αck2+ βdk2) = α|ck1+ck2…+ckn|+β|dk1+dk2…+dkn|.

5. Если в любой строке определителя прибавить любую другую строку с противоположным коэффициентом, то определитель не изменится.

6. Если строка в определителе состоит из нулей, то определитель = 0.

7. Если какая-либо строка определителя есть линейная комбинация других строк, то определитель = 0.

₁ = (a₁₁,a_1n)

₂ = (a₂₁,a_2n)

_n = (a_n1,a_nn)

	1
Det A=	2
	n

Пусть _k есть линейная комбинация остальных

_k = α₁₁ + α₂₂ +…+ α_k-1k-1 + α_k+1k+1 +…+ α_nn

В соответствии со свойством 7 определитель равен сумме этих определителей, равных нулю. Количество определителей = (n-1)и в каждой из которых имеются одинаковые строки.

Разложение определителя по элементам строки или столбца.

Минором элемента определителя a_ik называется определитель n-1 порядка, получающийся вычёркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент a_ik.

Алгебраическим дополнением А_ik элемента определителя a_ik называется A_ik = (-1)^i+kM_ik.

Теорема. Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки на их алгебраические дополнения.

det A = a_k1A_k1+a_k2A_k2+…+a_knA_kn =

1. Доказательство: Пусть определитель имеет вид:

=

a₁₁

Определитель 1 порядка, полученный вычёркиванием 1 строки и 1 столбца.

Тем самым, для 1 случая теорема доказана.

2. Пусть определитель имеет вид:

= (-1)^j

a_n1 a_n2 a_n3 a_n4 … a_nm

Передвинем последовательными шагами столбец этого элемента a_kj (столбец с номером j) влево до занятия им места 1 столбца. При этом определитель при каждом шаге меняет знак и итоге приобретает множитель (-1)^j и приобретает вид:

a_nj a_n1 a_n2 a_n3 … a_nm

Далее перемещаем строку с номером k вверх последовательно, пока она не займёт место 1^ой строки, т.е. определитель будет иметь вид:

a_nj a_n1 a_n2 a_n3 … a_nm

При этом определитель приобретает ещё один множитель (-1)k. В итоге

a_nj a_n1 a_n2 a_n3 … a_nm

Мы пришли к 1 случаю, для которого справедливость была доказана.

det A = (-1)^j+ka_kjM_kj+0*A_k1+…+0*A_k2 *…*0*A_kn

3. Общий случай.

a11	a12	…	a1m
…	…	…	…
ak1	ak2	…	akm
…	…	…	…
an1	an2	…	anm

=(-1)^k+1a_k1M_k1+(-1)^k+2a_k2M_k2+…+(-1)^k+na_knM_kn

Это правило вычисления определителя называется разложением по I строке (столбцу).

2. Равенство нулю суммы произведений элементов строки (столбца, алгебраическое дополнение другой строки (столбца)).

Сумма произведений элементов какой-либо строки на алгебраическое дополнение другой строки равна нулю, т.е. :

(*) а_k1А_j1+ а_k2А_j2+…+ а_knА_jn=0

Доказательство:

Рассмотрим определитель:

	…	…	…	…
j-я строка	aj1	aj2		ajn	= аj1Аj1+ аj2Аj2+…+ аjnАjn (**)
k-я строка	ak1	ak2		akn

В выражении (*) коэффициент А_jm получились вычёркиванием j-ой строки -> а_jmА не зависят от тех чисел, которые могут стоять в j-ой строке.

В определителе (**) на место j-ой строки поставим k-ую строчку. Тогда этот определитель равен det А = а_k1А_j1+ а_k2А_j2+…+ а_knА_jn

Но это равенство равно нулю, так как определитель имеет две одинаковые строки. Ч.т.д.

3. Ранг матрицы. Вычисление ранга методом окаймляющих миноров.

Пусть имеется прямоугольная матрица nхm .

Минором K-ого порядка матрицы А (k<m,k<n) называется определитель, получающийся из элементов, стоящих на пересечении каких-либо строк и каких-либо столбцов.

Рангом матрицы называется целое, положительное число r=Rang А, такое, что в данной матрице присутствует хотя бы один минор порядка r≠0, а все миноры следующего порядка (r+1 и далее) =0.

Метод окаймления миноров.

Если в матрице найден отличный от нуля минор k-ого порядка, то все миноры k+1 порядка считать не обязательно, так как имеет место теорема:

Если все окаймляющие данный минор k-ого порядка миноры k+1 порядка равны нулю, то и все вообще миноры k+1 –ого порядка = 0.

Найдём окаймляющие миноры 3-его порядка для M₂ : (положим, М₂≠0)

а11	а12	а13	а14
а21	а22	а23	а24
а31	а32	а33	а34
а41	а42	а43	а44

	а11	а12	а13
M3(1)=	а21	а22	а23
	а31	а32	а33

	а11	а13	а14
M3(2)=	а21	а23	а24
	а31	а33	а34

	а11	а12	а13
M3(3)=	а21	а22	а23
	а41	а42	а43

	а11	а13	а14
M3(4)=	а21	а23	а24
	а41	а43	а44

4. Теорема о базисном миноре. Понятие линейно независимых строк (столбцов) определителя. Необходимое и достаточное условие равенства 0 определителя.

При нахождении ранга матрицы минор порядка r (ранг матрицы) называется базисным.

Все строки матрицы являются линейными комбинациями строк базисного минора. (к столбцам относится то же самое).

Доказательство:

a11	a12	…	a1r	a1j	a1r+1	…	a1n
a21	a22	…	a2r	a2j	a2r+1	…	a2n
a31	a32	…	a3r	a3j	a3r+1	…	a3n
…	…	…	…	…	…	…	…
ar1	ar2	…	arr	arj	arr+1	…	arn
ak1	ak2	…	akr	akj	akr+1	…	akn
am1	am2	…	amr	аmj	amr+1	…	amn

Берём любую строку с номером произвольным k. Ставим её под базисный минор. Вправо от минора ставим произвольный столбец с номером j. Рассмотрим минор Mr+1, окаймляющий базисный снизу. K-ой строкой, справа k-ым столбцом.

Разложим его:

Mr+1=0=c1a1j+ c2a2j+ crarj+ Arakj |:Ar (Ar≠0)

Akj=-c1*a1j/Ar- c2*a2j/Ar+…- cr*arj/Ar

Так как akj – координаты вектора строки с номером k, это вернодля любого столбца (коэффициенты ci/Ar одинаковы для любого j) -> сам вектор

строка ak=-c1a1/Ar- c2a1/Ar -crar/Ar

Следствие из теоремы о базисном миноре:

Определитель матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда ранг матрицы <n (порядок квадратной матрицы)

Доказательство:

а11	а12	…	а1n
а21	а22	…	а2n
аm1	аm2	…	аmn

det A = 0

Rang A < n

1. Необходимость: дано: det A = 0, доказать: Rang A<n

Так как det A = 0, то по карйней мере одна из строк есть линейная комбинация строк. Это значит, что число линейно независимых строк < n. Число линейно независимых строк и есть Rang A -> r<n

2. Достаточность: дано: Rang A<n, доказать: det A = 0

Так как Rang A<n, а ранг – число линейно независимых строк, то в А число линейно независимых строк <n. Значит, по крайней мере одна из строк есть линейная комбинация остальных, а это значит, что det A = 0 (по св-вам определителя).

Ранг матрицы равен числу линейно независимых строк (столбцов), так как если методом Гаусса с помощью элементарных преобразований привести матрицу к виду трапеции, то оставшиеся строки являются линейно независимыми.

а11	а12	…	а1n
а21	а22	…	а2n
аm1	аm2	…	аmn

Рассмотрим строки как векторы (координаты aij (j=1,2,3…n))

1=(а₁₁, а₁₂, а₁₃,…,а_1n);

₂=(а₂₁, а₂₂, а₂₃,…,а_2n);

_m=(а_m1, а_m2, а_m3,…,а_mn);

Строки называются линейно независимыми, если они линейно независимы в смысле векторов, т.е. единственная линейная комбинация векторов, равная 0, это та, все коэффициенты нули.

Линейная комбинация – с₁₁ + с₂₂ + … + с_mm равна нулю тогда и только тогда, когда все числовые коэффициенты с₁ = с₂ = с_n = 0. Тогда векторы линейно независимы.

Если вектор – линейная комбинация остальных, то система линейно зависима: ak= с₁₁ + с₂₂ + … + с_k-1k-1 + с_k+1k+1 + с_nn

5. Системы линейных алгебраических уравнений. Правило Крамера.

х1, х2, …, хn – неизвестные

aik – постоянные коэффициенты

Матрица системы:

а11	а12	…	а1n
а21	а22	…	а2n
аm1	аm2	…	аmn

1. Кмножаем каждую строку системы на алгебраическое дополнение 1-ого элемента строки.

2. Сложим уравнения.

*x₁ + *x₂ + … + *x_n =

3. Поступим так же со вторым столбцом. (каждый элемент строки умножаем на А второго элемента строки). Слева получим △х₂ , справа - △2

Если определитель системы △≠0, то система имеет, и притом единственное, решение, даваемое формулами крамера:

△ – определитель системы, составленный из коэффициентов при неизвестных.

△_i – определитель, получаемый из определителя системы △ заменой столбца коэффициентов при неизвестном определяемом столбце свободных членов.

Если определитель системы △ = 0:

Если хотя бы один △_i ≠ 0, то система несовместна (ᴓ) (решений нет)

Если все △_i = 0, то решение существует и их бесконечно много. Система несовместна и называется неопределённой.

В случае неопределённой системы не все числа х₁, х₂, … , х_n можно брать произвольными, так как даже если одно уравнение осталось в системе, а все остальные – следствие из него, то это уравнение связывает между собой переменные, а это и значит, что все их брать произвольными нельзя.

6. Необходимое и достаточное условие совместимости системы. Теорема Кронекера – Капелле.

Система совместна тогда и только тогда, когда Rang А, составленный из коэффициентов при неизвестных, равен Rang Yрасширенной матрицы, т.е. матрицы, которая получена из матрицы A присоединением к ней столбца свободных членов.

а11	а12	…	а1n	b1
а21	а22	…	а2n	b2
аm1	аm2	…	аmn	b3

Rang A = Rang

Вектор столбец

(*) a₁x₁ + a₂x₂ +…+ a_nx_n =b

1) Необходимость: Дано: совместная система, доказать: Rang A = Rang

Доказательство: Так как система совместна, то есть, имеет решение, то существует такой набор чисел x₁=c₁ , x₂=c₂ , x_n=c_n , при подставлении которых в систему (*) получится верное равенство. Следовательно, b есть линейная комбинация остальных столбцов.

₁x₁ + ₂x₂ +…+ _nx_n =

-> линейная комбинация столбцов . Если в матрице один столбец является линейной комбинацией остальных, то при добавлении к матрице А этого столбца, её Rang не меняется, т.е. Rang A = Rang

2) Достаточность:

Дано: Rang A = Rang

Доказать: система (*) совместна.

Доказательство: Матрицы A и отличаются только и т.к. их ранги равны, то дабавление к А не меняет её ранга. Значит, этот столбец – линейная комбинация остальных столбцов. Т.е. существует такие числа c₁, c₂, c₃,…,c_n, что ₁c₁+ ₂c₂+…+_nc_n= . Но это и есть система (*)

-> (*) удовлетворилась при x₁=c₁, x₂=c₂, x_n=c_n ч.т.д.

Т.е. с₁,с₂,с_n – решения системы.

7. Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических систем уравнений.

Метод Гаусса. Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными . Выпишем расширенную матрицу системы/ Цель алгоритма -- с помощью применения последовательности элементарных операций к матрице добиться, чтобы каждая строка, кроме, быть может, первой, начиналась с нулей, и число нулей до первого ненулевого элемента в каждой следующей строке было больше, чем в предыдущей. Находим первый ненулевой столбец в матрице . Пусть это будет столбец с номером . Находим в нем ненулевой элемент и строку с этим элементом меняем местами с первой строкой. Чтобы не нагромождать дополнительных обозначений, будем считать, что такая смена строк в матрице уже произведена, то есть . Тогда ко второй строке прибавим первую, умноженную на число , к третьей строке прибавим первую, умноженную на число , и т.д. В результате получим матрицу

Если в матрице встретилась строка с номером , в которой все элементы равны нулю, а , то выполнение алгоритма останавливаем и делаем вывод, что система несовместна. Действительно, восстанавливая систему уравнений по расширенной матрице, получим, что -ое уравнение будет иметь вид

Этому уравнению не удовлетворяет ни один набор чисел Матрицу можно записать в виде

где

По отношению к матрице выполняем описанный шаг алгоритма. Получаем матрицу

где , . Эту матрицу снова можно записать в виде

и к матрице снова применим описанный выше шаг алгоритма.

Процесс останавливается, если после выполнения очередного шага новая уменьшенная матрица состоит из одних нулей или если исчерпаны все строки. Заметим, что заключение о несовместности системы могло остановить процесс и ранее. Если бы мы не уменьшали матрицу, то в итоге пришли бы к матрице вида

Далее выполняется так называемый обратный ход метода Гаусса. По матрице составляем систему уравнений. В левой части оставляем неизвестные с номерами, соответствующими первым ненулевым элементам в каждой строке, то есть . Заметим, что . Остальные неизвестные переносим в правую часть. Считая неизвестные в правой части некоторыми фиксированными величинами, несложно выразить через них неизвестные левой части. Теперь, придавая неизвестным в правой части произвольные значения и вычисляя значения переменных левой части, мы будем находить различные решения исходной системы . Чтобы записать общее решение, нужно неизвестные в правой части обозначить в каком-либо порядке буквами , включая и те неизвестные, которые явно не выписаны в правой части из-за нулевых коэффициентов, и тогда столбец неизвестных можно записать в виде столбца, где каждый элемент будет линейной комбинацией произвольных величин (в частности, просто произвольной величиной ). Эта запись и будет общим решением системы. Если система была однородной, то получим общее решение однородной системы. Коэффициенты при , взятые в каждом элементе столбца общего решения, составят первое решение из фундаментальной системы решений, коэффициенты при  -- второе решение и т.д. Фундаментальную систему решений однородной системы можно получить и другим способом. Для этого одному переменному, перенесенному в правую часть, нужно присвоить значение 1, а остальным -- нули. Вычислив значения переменных в левой части, получим одно решение из фундаментальной системы. Присвоив другому переменному в правой части значение 1, а остальным -- нули, получим второе решение из фундаментальной системы и т.д. Замечание 15.4   У читателя может возникнуть вопрос: "Зачем рассматривать случай, когда некоторые столбцы матрицы нулевые? Ведь в этом случае соответствующие им переменные в системе уравнений в явном виде отсутствуют." Но дело том, что в некоторых задачах, например, при нахождении собственных чисел матрицы, такие системы возникают, и игнорировать отсутствующие переменные нельзя, так как при этом происходит потеря важных для задачи.

.