МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ Горлова Светлана Николаевна |
06.09.2012 Лекция |
Курс: домашние работы, контрольная работа, зачёт.
§1. Общая поставнока задач
Линейного программирования.
Под программированием здесь подразумевается планирование.
Определение:
Задачей линейного программирования будем называть задачу отыскания наибольшего или наименьшего значения линейной функции на некотором множестве.
Задача имеет следующий внешний вид:
Это система линейного ограничения.
где:
– целевая функция или критерий
оптимальности
– любой знак
Целевая функция чаще всего имеет вид:
Определение:
Задача линейного программирования называется стандартной, если:
на
для любых
Ограничения имеют вид неравенств
(СЭЛП)
Определение:
Задача линейного программирования называется канонической, если выполняются первой и второе из перечисленных выше условий, а ограничения имеют вид равенств.
Определение:
Множество
называется множеством планов или
допустимых решений. Иными словами, если
’ы
удовлетворяют решениям задачи, то
множество
будет планом допустимых решений задачи.
Определение:
План
называется оптимальным в задаче на
,
(или на
)
если
(или
)
для любых
.
Рассмотрим несколько задач линейного программирования.
Задача о пищевом рационе.
Имеется
три вида продуктов:
,
,
.
Из этих продуктов требуется составить
пищевой рацион, который должен содержать:
белков
не менее
ед.
углеводов
– не менее
ед.
жиров
– не менее
ед.
Содержание белков, углеводов и жиров в одной единице продукции каждого вида указано в таблице:
-
Вид продукции
белки
жиры
углеводы
Стоимость единицы продукции
Составить пищевой рацион таким образом, чтобы выполнялись условия по белкам, углеводам и жирам, и стоимость рациона была минимальной.
Cоставим задачу.
– это количество единиц той или иной
продукции.
Составим ограничения.
Белков
в продукции
будет
,
т. к.
– это количество продукции
,
а
– это количество белков в одной единице
продукции. Тогда:
Определим целевую функцию. По условию задачи она стремится к минимуму:
И положим следующее ограничение: количество товаров не может быть отрицательным, т. е. .
Таким образом, задача имеет следующий вид:
Задача о загрузке оборудования.
Предприятие
располагает двумя видами станков:
штук первого вида,
штук – второго вида. Станки могут
производить три вида ткани, но с различной
производительностью, которая указана
в таблице:
-
Вид станка
1
2
Доход от реализации ткани
Производительность и стоимость указаны на одну единицу ткани.
План:
не менее
,
но не более
не менее
,
но не более
не менее
,
но не более
Требуется распределить загрузку станков производством ткани так, чтобы доход от реализации был бы максимальным, и все без исключения станки работали.
В
качестве переменных
попробуем для начала взять количество
единиц ткани.
Необходимо
произвести
,
,
единиц ткани типа
,
,
так, чтобы максимизировать выручку.
Получаем функцию:
Ограничения по выпуску тканей определённого типа:
,
Но
теперь не ясно, как определить загрузку
станков, ведь они оба должны работать
одновременно. Получается, что в качестве
переменных
у нас будет количество станков -го вида,
занятых производством ткани
-го
типа.
Теперь узнаем, сколько ткани разного типа вида мы выпустим. Здесь пригодится информация о производительности станков.
– это количество ткани 1-го типа,
выпущенной 1-м станком,
– это количество ткани 2-го типа,
выпущенной 1-м станком,
– это количество ткани 3-го типа,
выпущенной 1-м станком,
– это количество ткани 1-го типа,
выпущенной 2-м станком,
– это количество ткани 2-го типа,
выпущенной 2-м станком,
– это количество ткани 3-го типа,
выпущенной 2-м станком.
Тогда ограничения по количеству выпущенной ткани будут выглядеть так:
Целевая функция получается следующая:
Одновременность работы станков последует из следующих ограничений:
Количество работающих станков не может быть нулевым и должно быть целым, т. е.:
Таким образом, мы составили задачу.
ГЕОМЕТРИЧСЕКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ.
Задание: решить геометрически.
Построим
область на координатной плоскости,
зная, что
,
.
Для этого найдём точки, через которые
проходит каждая из пяти прямых.
Первая
прямая
,
очевидно, проходит через точки
и
:
,
.
Вторая
прямая
проходит через точки
и
.
Остальные прямые совпадают с координатными осями.
Построим
ограниченную данными прямыми область
:
По
условию нужно найти наибольшее значение
функции на данной области (значение
).
Функция принимает наибольшее значение
в одной из точек пересечения целевой
функции
и найденной области
.
Чтобы найти эту точку, нам необходимо
установить направление наискорейшего
возрастания функции. Оно определяется
вектором-градиентом:
По
условию целевая функция имеет вид
.
Найдём её первые частные производные:
Таким
образом, вектор-градиент направлен из
начала координат в точку
.
Проведём
перпендикуляр к градиенту и выполним
его параллельный перенос в ту сторону,
в которую направлен наш градиент.
Переносим до тех пор, пока не встретим
самую последнюю в этом направлении
точку области
.
В этой точке функция будет принимать
наибольшее значение. Как видно по
графику, это точка пересечения прямых
и
с координатами
.
Подставим найденную точку в уравнение целевой функции, чтобы найти максимальное значение функции в данной области:
.
13.09.2012 Лекция |
Запишем задачу линейного программирования в векторной форме. Вспомним вид обычной записи задачи линейного программирования:
Видим,
что правая часть целевой функции
напоминает скалярное произведение
векторов. Таким образом, целевая функция
представима в виде скалярного произведения
векторов
и
:
Ограничения же – это уравнения, которые в векторной форме можно представить так:
где
для любых
План
из
называется опорным, базисным, если он
либо нулевой вектор, либо если система
вектор-столбцов, соответствующих
ненулевым координатам вектора х, является
линейно независимой.
Пример:
Является ли вектор базисным (опорным)?
Но прежде чем проверять опорность плана , следует сначала удостовериться, что является планом, т. е. принадлежит множеству . Для этого подставим вектор в ограничения:
Следовательно, вектор принадлежит множеству , т. е. является планом.
Теперь проверим, является ли план базисным, для этого воспользуемся определением. Т. к. вектор не является нулевым, построим систему вектор-столбцов:
Из вектора только третья и четвёртая координаты является ненулевыми.
Установим
наличие или отсутствие линейной
зависимости этих двух векторов. Помним,
что система векторов
является линейно зависимой, если
существуют такие
,
не все равные нулю, при которых
.
Следовательно, система векторов не является линейно зависимой. Таким образом, можем сделать заключение: план является базисным (опорным).
Определение:
Точка
множетсва
называется угловой точкой множества
,
если она не является внутренней точкой
никакого отрезка.
Определение:
Множество называется выпуклым, если оно вместе с любыми двумя точками содержит и весь отрезок, заключённый между этими точками.
Запишем условие принадлежности отрезка всему множеству:
,
,
Теорема:
Каждый базисный план является угловой точкой множества допустимых планов.
Доказательство:
Существует некий , являющийся планом, т. е. . Кроме того, по условию – базис. Докажем, что – угловая точка.
Поскольку
базисный, у него есть как нулевые, так
и ненулевые координаты. Допустим,
.
Из этого следует, что система
линейно независима.
Докажем
от противного, т. е. пусть
не является угловой точкой, другими
словами,
– внутренняя точка некоторого отрезка.
Отсюда следует, что
,
где
,
.
Запишем это равенство в координатном
виде:
,
.
,
По
условию задачи линейного программирования,
координаты у допустимых планов
неотрицательны, т. е.
и
.
Т.
к.
,
то в правой части последнего равенства
стоит сумма неотрицательных слагаемых.
Это происходит тогда, когда все члены
равенства равны нулю, т. е.
,
.
Т. е. у векторов
и
нулю равны одни и те же координаты.
Т.
к.
,
,
они удовлетвряют ограничениям задачи:
.
Для
.
Т. е. система вектор-столбцов
– линейно зависима <дописать здесь>.
Теорема:
Если целевая функция принимает наибольшее значение в некоторой точке множества D, то она принимает это же значение и в некоторой угловой точке этого множества.
Доказательство:
Воспользуемся
известным фактом: если D
замкнутое, имеющее конечное число
угловых точек (скажем, D
– это какой-либо многоугольник), то
любую точку из D можно
представить в виде линейной комбинации
угловых точек, т. е. если векторы
– угловые точки множества D,
то для любых
верно следующее:
где
Т. е. любая точка множества представима в виде угловой точки.
Пусть
для любых
принимает наибольшее значение в точке
(скалярное произведение линейно по
каждому сомножителю)
.
Выберем среди угловых точек такую, в которой целевая функция принимает наибольшее значение. Такую точку выбрать возможно, ведь у нас конечное множество угловых точек. Среди угловых точек выберем такую, значение которой в целевой функции является наибольшим.
<дописать здесь>
.
Итак,
.
Но
с другой стороны,
:
– наибольшее, т. е. для любого
из
следует
.
Из
этого следует, что
.
Что и требовалось доказать.
Задача 1.
Решить нужно графически.
Построим область, ограниченную нашими прямыми и осями координат:
Найдём координаты вектора-градиента:
Прямую,
перпендикулярную вектору-градиенту,
параллельно переносим до пересечения
с самой последней точкой, у нас это точка
пересечения прямой
с осью координат
.
Составим и решим систему:
,
– это и есть точка, в которой целевая
функция принимает наибольшее значение.
Найдём значение целевой функции в этой точке:
.
Задача 2.
Построим область
Как видно на графике, область не ограничена. Следовательно, наибольшего значения у функции нет, задача решения не имеет. Целевая функция не ограничена сверху на непустом множестве планов.
14.09.2012 Лекция |
Задача 3.
Продолжаем решать графически:
Вектор-градиент
откладывается из начала координат в
точку, координаты которой составлены
из коэффициентов при целевой функции.
Например, координатами вектора-градиента
в этой задаче будут (
),
а направлен вектор-градиент всегда из
начала координат.
Как
мы помним, градиент показывает направление
возрастания функции. Поэтому в задачах
со стремящейся к минимуму целевой
функцией мы переносим перпендикуляр
градиента в ту сторону, которая
противоположна его направлению. В этой
задаче перпендикуляр градиента параллелен
3-ей прямой, а значит, при параллельном
переносе он полностью накладывается
на эту прямую. Это можно увидеть также
по коэффициентам при аргументах целевой
функции и третьего уравнения – они
пропорциональны. Ответом к задаче будет
множество точек, расположенных на том
отрезке прямой
,
который сходит в область
.
Другими словами, это будут точки,
расположенные на отрезке
с координатами концов (
)
и (
).
Наш
будет записан в виде:
.
Подставим
координаты концов отрезка
и
в целевую функцию:
Таким
образом, наименьшее значение целевой
функции:
.
Задача 4.
<При желании решить эту задачу дома>
Задача 5.
Замечаем,
что у нас больше двух переменных. Нам
нужно выразить их все через
и
.
Тогда целевая функция примет вот такой
вид:
Упростим:
Теперь замечаем, что у нас нет неравенств. Без неравенств нам не удастся построить область. Чтобы получить неравенство из равенства, нужно одну из его частей увеличить или уменьшить. Видим, что наши – неотрицательные, поэтому достаточно будет убрать из первой части уравнения любой , чтобы точно получилось неравенство.
Уберём из левой части весь последний столбец ’ов:
Таким образом, мы не только создали неравенства, но и избавились от столбца лишних переменных, и теперь сможем построить область.
Находим:
19.09.2012 Лекция |