А. Аппаратное обеспечение компьютеров

1. Раздел "Основы теории компьютеров"

Примечание: при ответе на вопросы 7-10 можно использовать схему однопроцессорного компьютера из конспекта лекций по данному курсу.

Литература:

1. 681.3 П79 Проектирование процессора ЭВМ: Учебное пособие / В.И. Зуев и др.: Под редакцией В.О. Чуканова, М.: МИФИ, 1990 2. 681.3 С12 А.Я. Савельев. Прикладная теория цифровых автоматов. Высшая школа,

1987.

1. Минимизация булевых функций методом Квайна-Мак- Класки.

(ОТК, лекция 29.09.2003)

Метод Квайна-Мак-Класки:

Основное неудобство метода Квайна (Если совершенной дизъюнктивной нормальной форме вначале провести все операции неполного склеивания, а затем операции поглощения, то получим сокращённую дизъюнктивную нормальную форму) состоит в том, что при поиске простых импликант1 необходимо произвести попарное сравнение вначале всех конституэнт единицы 2 , затем полученных в результате склеивания произведений.

С целью упрощения этой процедуры Мак Класки предложил алгоритм:

1.Вводится понятие цифрового эквивалента для каждого произведения по следующему правилу: некоторому произведению ставится в соответствие цифровой эквивалент с использованием"0 1 -". Переменной, входящей в произведение в прямом виде, ставится в соответствие 1, если в инвертном - то 0. Отсутствие переменной обозначается прочерком.

2.В любом произведении переменные располагаются только по возрастанию индексов. Склейки подлежат только те произведения, в которых положение прочерков совпадает, а 0 и 1 в наборе отличаются на один символ. Обычно для этого используется графический способ

3.Для поиска минимальной формы используется метод импликантных матриц.

4.Далее нужно выбрать минимальную совокупность импликант (их может быть больше, чем одна). Перебор различных вариантов при поиске оптимального покрытия осложняет минимизацию функций.

2)Графический способ поиска простых импликант: при графическом способе поиска все наборы разбиваются на группы, расположенные в следующем порядке:

1.Вначале идёт группа цифровых эквивалентов, содержащих одни 0. Такой набор может быть только 1.

2.Наборы, содержащие по 1 единицы, далее - наборы, содержащие по две единицы и

т.д.

Сравниваем все элементы соседних групп, устанавливаем возможность склейки. Делается необходимая пометка (*) и пишется результат склейки. Процесс продолжается до тех пор, пока возможны склейки. Все не склеенные наборы, а также конечные результаты склейки дают простые импликанты. Для расшифровки полученных результатов заменяем символы "0 1 -" на переменные, и выписываем простые импликанты. В результате получаем сокращённую дизъюнктивную нормальную форму.

3) Метод импликантных матриц (для поиска минимальной формы):

Составляется импликантная матрица, колонки которой именуются конституэнтами "1", а строки - простыми импликантами (полученными на предыдущем шаге).

1простой импликантой называется произведение, которое само входит в выражение

функции, но никакая его собственная часть не входит. Например, в выражении X1vX1X2 ипмликанта X1 - простая, а X1X2 - не простая (v обозначает логичекое +).

2конституэнта единицы - наборы, на которых функция принимает единичные значения

Далее - находим минимальное покрытие3 всех конституэнт 1 простыми импликантами, при этом ищется такая минимальная совокупность простых импликант, которые совместно покрывают все конституэнты 1 исходной функции.

Факт покрытия отмечается в клеточке матрицы символом * в случае, когда импликанта матрицы коврывает соответствующую конституэнту или является её собственной частью. Из всех простых импликант выбираются вначале только такие, которые одни покрывают конституэнты 1; в колонке матрицы один символ покрывается. Затем производится перебор. При составлении минимальной формы необходимо обеспечить присутствие хотя бы одной * в каждой колонке: надо выбрать такой минимальный набор простых импликант, чтобы они совместно покрывали все конституэнты 1. Из матрицы видно, что в минимальную форму функции обязательно войдут импликанты, конституэнты которых отмечены ~.

Пример: (пример из к/р)

Найти МДНФ (минимальная дизьюнктивная нормальная форма) методом Квайна-Мак- Класски

f (x, y, z) = ∑( 6 , 5 , 4 , 3 , 1 )

110 101 100 011 001

В данном случае, функция задана в виде восьмиричных эквивалентов (для 4-х аргументов часто используют 10-тичные эквиваленты). Включены те наборы, на которых функция принимает единичные значения (совершенная дизъюнктивная нормальная форма). Получим аналитически совершенную дизъюнктивную нормальную форму:

f (x, y, z) = xyz + xyz + xyz + xyz + xyz

Используем графический способ. Разбиваем на группы (сначала - наборы, где все нули, затем наборы с одной единицей, с двумя единицами и т.п.) и попарно сравниваем элементы соседних групп.

001 ** 0-1

100** 10-

011*

101** -01

110* 1-0

Дальнейшее склеивание невозможно. Составляем импликантную матрицу. Строки - простые импликанты (найденные графическим способом), столбцы - конституэнты 1 (из исходной функции):

~~

Определяем минимальный набор простых импликант, покрывающий все конституэнты. Выписываем построчно. ~ обозначены обязательные строки. Получаем две минимальные совокупности импликант:

fmin1 = xz + xz + xy

fmin 2 = xz + xz + yz

(отличаются последним членом)

3 Если на каком-либо наборе функция f принимает значение а1, а функция ф значение а2, то говорят, чтоf своим значением а1 покрывает значение а2 функции ф.

2. Минимизация булевых функций с помощью диаграмм Вейча.

(ОТК, лекция 06.10.2003)

Минимизирующие диаграммы:

Метод графической минимизации (предложенный Карно) позже был усовершенствован Вейчем. Ограничения: Карты Карно или диаграммы Вейча работают на функциях до 5- ти ~ 6-ти переменных, так как большее количество переменных графически изобразить тяжело.

Диаграмма Вейча - это матрица, строкам и столбцам которой приписывается смысл переменных, входящих в функцию в прямом и инверсном виде. В клетках ставится произведение, образованное из букв, которыми названы строки и столбцы таблицы. Данная матрица сразу указывает на возможную склейку произведений, входящих в выражение функции. Диаграмма так же даёт результат этой склейки (название строки и столбца).

Правило заполнения диаграммы: Если то или иное произведение входит в совершенную дизъюнктивную нормальную форму, то в соответствующую ему клетку диаграммы ставится 1, а если не входит - 0. Если в диаграмме находятся хотя бы две соседние единицы, то это означает, что два произведения склеиваются, а результатом склейки является произведение (из меньшего числа операндов), именем которого названа данная строка или столбец. Причём, каждая единица может входить в несколько объединений и каждая единица должна войти хотя бы в одно объединение. В общем случае этого может не произойти; тогда эта единица войдёт в произведение в виде конституэнты.

Результатом склейки является результат покрытия конституэнт единицы исходной функции простыми импликантами: в данном случае, переменными, которыми названы строки и столбцы матрицы. Особенность: при поиске минимальной формы функции необходимо считать склеенными правый край с левым и верхний - с нижним. Говорят, что для удобства целесообразно считать данную диаграмму написанной на поверхности тора.

Формализация описания метода (определение):

Правильной конфигурацией ранга 2 называется совокупность единиц (нулей), образующих прямоугольник, площадью 2k (k=1, 2k = 2; при k=2, 2k = 4, при k=3, 2k = 8). Для минимизации функции, зависящей от n аргументов, отыскиваются правильные конфигурации в начале (n-1) ранга, затем ( n-2) и т.д. Далее определяется покрытие найденных правильных конфигураций. Некоторые определяются совместной проекцией соответствующих строк и столбцов, которая выделяет данную правильную конфигурацию.

Свойства диаграмм Вейча:

1.С помощью диаграммы можно находить минимальную форму по совершенной конъюнктивной нормальной форме - в этом случае склеиваются нули функции.

2.Можно находить минимальную форму по дизъюнктивной нормальной форме и конъюнктивной нормальной форме (не обязательной совершенной).

3.Можно находить все одинаковые минимальные формы.

4.Можно находить минимальную форму не полностью определённой функции. В этом случае можно доопределить отсутствующий набор - либо до 1, либо до 0.

Обозначается такой набор звёздочкой *.

Преимущества: простота и наглядность для небольшого числа аргументов. Недостатки: не применимость метода для большого числа аргументов (>6). С увеличением числа аргументов - усложнение диаграмм и потеря наглядности.

Пример: (пример из к/р)