224

Л 14. Переходные процессы в нелинейных цепях

13.1. Общая характеристика переходных процессов в нелинейных цепях и методов их расчета

Ранее было показано, что расчет переходных процессов в линейных электрических цепях заключается в решении линейных дифференциальных уравнений, описывающих исследуемые процессы. Решение для линейной цепи находится как сумма установившейся и свободной составляющих. В случае синусоидальных источников воздействия установившаяся составляющая решения имеет частоту воздействия.

Такое разделение на установившуюся и свободные составляющие невозможно в случае нелинейной цепи, для которой, как известно, метод наложения неприменим.

Переходные процессы в нелинейных цепях носят более сложный характер, чем в линейных. Нелинейность характеристики какого-либо элемента электрической цепи существенно влияет на характер переходного процесса по сравнению с линейной цепью. Нелинейность изменяет скорости нарастания или спада переходного тока (или напряжения), максимальные и минимальные значения переходных величин и т. д.

При некоторых условиях возникают незатухающие колебания (автоколебания) с частотой, отличной от частоты источника. Переходный процесс в цепях с ферромагнитными элементами сопровождается гистерезисными явлениями и вихревыми токами, причем на характер и длительность процесса существенное влияние оказывает остаточное намаг­ничивание (начальный магнитный поток, обусловленный предшествующим режимом).

Переходные процессы в нелинейных цепях описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, для кото­рых не существует общего аналитического решения. В за­висимости от конкретных условий задачи выбирается тот или иной метод расчета. Трудности, с которыми сопряжен расчет переходных процессов в нелинейных целях, воз­растают по мере усложнения схем и характера воздейст­вия.

На практике нашли применение приближенные методы расчета — аналитические и графоаналитические. Анали­тические методы расчета заключаются в аналитичес­ком интегрировании дифференциальных уравнений, в ко­торых нелинейные характеристики аппроксимируются ана­литическими функциями. Графо-аналитические методы расчета не требуют аналитической аппрокси­мации характеристик; решение находится графическими построениями, сопровождаемыми некоторыми дополнитель­ными вычислениями.

13.2. Метод условной линеаризации

1. Рассмотрим включение постоянной э.д.с. Е в цепь, состоящую из последовательно соединенных катушки ин­дуктивности L и нелинейного резистора, характеристика которого u=f(i) задана графически (рис. 13.1, а).

Рис. 13.1. Метод условной линеаризации (цепь с нелинейным резистором)

Дифференциальное уравнение

(13.1)

является нелинейным. Условимся сначала считать, что характеристика резистора линейна и проходит через точку с координатами I и Е, соответствующими установившемуся режиму. Тогда r=E/I=const и дифференциальное урав­нение (13.1)

имеет решение

. (13.2)

По этой зависимости i (t), изображенной на рис. 13.2, и нелинейной характеристике рис. 13.1, а строится кривая u(t) на рис. 13.1, в.

На основании (13.1)

.

Следовательно, для произвольного момента t₁ соответ­ствующий ток определится выражением

,

где m_u — масштаб напряжения, В/мм;

m_t — масштаб времени, с/мм;

S₁ — заштрихованная на рис. 13.1, в площадь, мм².

Задаваясь различными t, можно построить кривую, более точно выражающую зависимость тока от времени, чем приближенное решение (13.2).

Полученная кривая тока может быть использована для последующего уточнения решения, если в этом окажется необходимость.

2. Если цепь состоит из резистора и нелинейной ка­тушки индуктивности, то в случае включения постоянной э.д.с. дифференциальное уравнение имеет вид:

(13.3)

Нелинейная характеристика условно заменяется линей­ной, проходящей через точку с координатами _уст и I, соответствующими установившемуся режиму. Тогда L=_уст/I = const и дифференциальное уравнение

имеет решение

.

По кривой (t) и заданной нелинейной характери­стике (i) строится кривая i(t), дающая приближенное решение (рис. 13.2).

Рис. 13.2. Метод условной линеаризации (цепь с нелинейной индуктивностью)

Для сравнения на рис. 13.2 пунктиром изображена функция , получающаяся при условии, что L=const. Так как при малых токах дифференциальная индуктивность больше, чем L, а при боль­ших токах — меньше L, то вначале ток нарастает медлен­нее, чем при постоянной индуктивности L, а затем — быст­рее.