5.4. Несинусоидальные кривые с периодической огибающей

Кроме несинусоидальных периодических величин, разлагаемых в тригонометрических ряд на гармонические составляющие с частотами, кратными основной частоте, в практике встречаются несинусоидальные кривые с периодическими огибающими, разлагаемые на некратные гармонические составляющие.

Период напряжений или токов, описываемых такими кривыми, обычно во много раз превышает период любой из составляющих и может стремиться к бесконечности. К числу явлений, характеризуемых такими кривыми, относится биения и модуляция.

5.4.1. Биения.

Простейшим примером биений является кривая, получаемая в результате сложения двух синусоид, с равными амплитудами, имеющих близкие, но не равные частоты ₁ и ₂ (₁₂):

f(t)=A_m(sin₁t+sin₂t).

Преобразуя сумму синусов, получаем:

.

Будем говорить, что кривая f(t) представляет собой синусоиду с угловой частотой , амплитуда которой изменяется по косинусоиде с значительно меньшей угловой частотой .

f(t)=2A_mcostsint (рис.5.3).

Рис.5.3. Кривая биения

Частотой биений называется частота , равная числу максимумов огибающей кривой в единицу времени (рис.5.3).

Период биений в общем случае не равен периоду кривой f(t).

Действительно,

.

Очевидно, что только при (целое нечетное число) период биений совпадает с периодом кривой f(t). Во всех остальных случаях кривая f(t) на участках двух соседних периодов биений не повторяется и период кривой f(t) превышает период биений. При несоизмеримости угловых частот  и  отношение этих величин является иррациональным, числом т.е. не существует такой частоты, на которую без остатка делятся частоты  и , а следовательно, период функций f(t) равен бесконечности и кривая f(t) не является периодической, хотя она просто разлагается на две синусоиды.

5.4.2. Модулированные колебания

Синусоидально (гармонически) изменяющаяся величина f(t)=A_msin(t+) задается тремя параметрами: амплитудой A_m , угловой частотой  и фазой . Все эти величины предполагаются постоянными и не зависящими от времени.

Однако для передачи различного рода сигналов применяются источники Э.Д.С., в которых одна из этих величин сравнительно медленно изменяется по некоторому заданному закону.

Изменение во времени одного из параметров A_m,  ю или  носит название модуляции. Изменение амплитуды А_m называется амплитудной модуляцией, изменение частоты  - частотной модуляцией, изменение фазы  - фазовой модуляцией.

Рассмотрим простейший пример функции, изменяющийся с частотой  и с амплитудой, модулированной по косинусоиде (A_1m+∆Acost), где A_1m- среднее значение вокруг которого изменяется амплитуда модулирующего колебания ∆А.

f(t)=A_m(t)sin(₀t)=A_1m(1+mcost)sin(₀t). (5.13)

Частота ₀ называется несущей частотой, частота  - модулирующей частотой, m- коэффициент модуляции. Он является одним из основных параметров, (рис.5.4,а). Обычно m меньше единицы.

Рис.5.4. Амплитудно-модулированное колебание

Амплитудная модуляция находит широкое применение в радиовещании и радиосвязи, где несущей частотой ₀ является частота радиосвязи, а модулирующей  служат звуковые частоты предаваемой речи или музыки.

При определении токов или напряжений в цепях, схемы которых содержат источники Э.Д.С., модулированных по амплитуде, последние могут быть разложены на синусоидальные составляющие. Преобразуя выражение (5.13), получим:

f(t)=A_1msin(₀t)+A_2m(sin₁t+sin₂t),

где , ₁=₀ -  , ₂= ₀+.

Начальная фаза каждой из трех гармонических составляющих в рассматриваемом примере _k=0.

Таким образом, простейшие модулированные по амплитуде функции могут быть представлены в виде суммы трех синусоидальных функций с постоянными амплитудами и с частотами ₀, ₁ и ₂. Частоты ₁ и ₂ называются боковыми частотами.

Дискретный спектр модулированной по амплитуде функции представлен на рис. 5.4,6.

При иррациональности отношения несущей ₀ и модулирующей  частот эти частоты несоизмеримы, а следовательно, кривая f(t) не является периодической. Тем не менее эта кривая совершенно точно может быть представлена в виде суммы трех синусоидальных составляющих различных частот.

Несинусоидальные функции, получающиеся в результате биений и модуляций, являются либо периодическими, либо при несоизмеримости частот -почти периодическими. Хотя в последнем случае период кривой и возрастает до бесконечности и говорить о действующем значении не имеет смысла, тем не менее величина, выраженная формулой (5.4), близко соответствует действующему значению функции за период ее огибающей.

Строго говоря, действующие значения за различные периоды огибающей при несоизмеримости частот оказываются различными, так как одной и той же фазе огибающей всегда соответствуют различные фазы несущей частоты. Однако при ₀ это различие оказывается настолько ничтожным, что им можно пренебречь и понимать под действующим значением кривой с периодической огибающей, описываемой функцией

f(t)=F(t)sin₀t,

действующее значение ее огибающей, деленное на :

, (5.14)

где .