113

Л 7 несинусоидальные токи

В электрических цепях несинусоидальные токи возникают в трех случаях:

1. Если источник Э.Д.С. (тока) несинусоидальный, но цепь линейная.

2. Если источник Э.Д.С. (тока) синусоидальный, но в цепи есть нелинейные элементы.

3. Если источники несинусоидальные и в цепи есть нелинейные элементы.

5.1. Разложение периодической несинусоидальной кривой в тригонометрический ряд

Явления, происходящие в линейных цепях при периодических, но несинусоидальных ЭДС или токах, проще всего поддаются исследованию, если кривую ЭДС или тока разложить в тригонометрический ряд Эйлера-Фурье.

Как известно, всякая периодическая функция, удовлетворяющая условиям Дирихле, т.е. имеющая на всяком конечном интервале конечное число разрывов первого рода и конечное число максимумов и минимумов может быть разложена в тригонометрический ряд:

, (5.1)

где при k=0

.

Первый член ряда A₀ называется постоянной составляющей или нулевой гармоникой, второй член A_1msin(t+₁) - основной синусоидой или первой гармоникой, а все остальные члены вида A_kmsin(kt+_k) при k>l носят название высших гармоник.

Основная частота , где Т — период несинусоидальной периодической функции.

Тригонометрический ряд после раскрытия синуса суммы для каждой из гармоник может быть записан и в иной форме:

f(t)=A₀+B_1msint+ B_2msin2t+…+ B_kmsinkt+…+ C_1mcost+

C_2mcos2t+….+ C_kmcoskt+…. , (5.2)

где

B_km=A_kmcos_k,

C_km=A_kmsin_k.

Коэффициенты A₀, B_km и C_km могут быть вычислены при помощи следующих интегралов:

(5.3)

Постоянная составляющая А₀ равна среднему значению функции f(t) за ее период .

Зная коэффициенты ряда (5.2), легко перейти к форме (5.1), подсчитывая

и .

Значительное число периодических функций времени, с которыми приходится встречаться в технике переменных токов, удовлетворяет условию f(t)=-f(t+) (рис.5.1 ,а):

Рис.5.1. Кривые симметричные относительно оси абсцисс, ординат и начала координат

Функции, удовлетворяющие этому условию, называются симметричными относительно оси абсцисс.

В этом случае ряд не содержит четных гармоник и постоянной составляющей

f(t)=A_1msin(t+₁)+ A_3msin(3t+₃)+ A_5msin(5t+₅)+…

При выпрямлении переменного тока или напряжения часто также приходится встречаться с функциями, которые при соответствующем выборе начала координат удовлетворяют условию f(t)= -f(-t) (рис.5.1,б)

Такие функции называются функциями, симметричными относительно оси ординат. В этом случае ряд не содержит синусов.

f(t)=A₀+A_1mcost+ A_2mcos2t+ A_3mcos3t+…

В схемах умножения частоты встречаются функции, которые при выборе начала координат в точке нуля функции удовлетворяют условию f(t)=-f(-t)

Такие функции называются симметричными относительно начала координат (рис.5.1,в). В этом случае разложение в ряд не содержит косинусов и постоянной составляющей:

f(t)=A_1msint+ A_2msin2t+A_3msin3t+…

Несинусоидальную периодическую функцию можно рассматривать как некоторый дискретный спектр частот, кратных основной частоте . Такой спектр можно характеризовать некоторой зависимостью А_km и _k от частоты k.

В качестве примера рассмотрим несинусоидальную функцию, представляющую собой ряд прямоугольных импульсов продолжительностью  и с амплитудой а_макс, следующих один за другим через интервалы времени Т=2 (рис.5.2, а).

Рис.5.2. Дискретный спектр серии прямоугольных импульсов

Найдя коэффициенты разложения по формуле (5.3), можно рассматриваемую функцию представить в виде следующего ряда:

,

где .

Дискретный спектр частот для этого случая представлен на рис.5.2,б.