3.6. Основы метода симметричных составляющих

Метод симметричных составляющих, предложенный Фортескью, позволяет сравнительно просто рассчитать несимметричные, в частности аварийные, режимы в трехфазных системах. До предложения этого метода для таких расчетов надо было решать дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами.

Метод симметричных составляющих основан на представлении любой несимметричной системы токов, напряжений, магнитных потоков в виде суммы трех симметричных составляющих. Они отличаются друг от друга порядком следования фаз и называются системами прямой (рис. 3.15, а), обратной (рис. 3.15, б) и нулевой последовательности (рис. 3.15, в).

Рис.3.15. Симметричные составляющие несимметричной трехфазной цепи

Обозначим трехфазную систему величин (токов, напряжений) буквами А, В, С. Величины, относящиеся к системам прямой, обратной и нулевой последовательности, отметим соответственно индексами 1, 2, и 0.

Система А₁, В₁, С₁, у которой между вслед идущими векторами угол 120° и имеет прямой порядок следования фаз в направлении вращения векторов, называется прямое системой. Система А₂, В₂, С₂, у которой между вслед идущими векторами угол 120° и имеет порядок следования фаз противоположный основному называется обратной системой. Система векторов A₀, B₀, C₀, совпадающих по фазе называется нулевой системой.

Пользуясь фазовым оператором «а» и приняв за основные вектора A₁, A₂, A₀ запишем:

B₁=a²A₁, B₂=aA², B₀=A₀.

C₁=aA₁, C₂=a²A₂, C₀=A₀. (3.25)

Пусть задана несимметричная система трех векторов А, В, С. Для замены несимметричной системы А, В, С тремя системами симметричных составляющих необходимо и достаточно, чтобы соблюдались условия:

(3.26)

Подстановка уравнений (4.24) в (4.25) дает уравнения:

А=А₁+А₂+А₀, (3.27)

В=а²А₁+аА₂+А₀, (3.28)

С=аА₁+а²А₂+А₀. (3.29)

Получим систему трех уравнений с тремя неизвестными. Складывая уравнения (3.27) и (3.28) и учитывая основное свойство фазового оператора «а» (3.3), находим, что:

.

Умножая (3.28) на «а» и (3.29) на «а²» и складывая уравнения (3.27) и (3.28), находим, что:

.

Умножая уравнение (3.28) на «а²» и (3.29) на «а» и затем складывая (3.27) и (3.29), получаем:

.

3.7. Вопросы и задачи для самопроверки

1. В чем заключается преимущество трехфазного тока перед однофазным.

2. Симметричный трехфазный источник питания и нагрузка, состоящая из трех одинаковых резисторов с сопротивлениями R_А = R_В = R_C =R соединенные по схеме звезда с нулевым проводом (рис.3.16).

Рис. 4.16. Трехфазная система, соединенная по схеме звезды

Дано: U_Л = 220 В и I_A=I_B=I_C=1A.

Построить векторные диаграммы напряжений и токов. Определить фазные токи, ток в нейтрали и мощность трехфазной цепи для следующих режимов:

а). Симметричный режим (рубильники 1 и 3 замкнуты, рубильник 2 разомкнут).

б). Рубильники 1 и 2 разомкнуты, а рубильник 3 замкнут.

в). Положение рубильников тоже, что и в пункте a, но активное сопротивление заменено на равное по величине индуктивное сопротивление.

г). Все рубильники (1, 2, 3) разомкнуты.

д). Рубильники 1 и 2 замкнуты, а рубильник 3 разомкнут.

3. Три одинаковых резистора R_AB = R_BC = R_AB = R соединены треугольником (рис. 4.17)

Рис. 3.17. Трехфазная система, соединенная по схеме треугольник

К зажимам А, В, С приложены симметричные линейные напряжения U_Л=380 B. Линейные токи при замкнутых рубильниках I_Л =1 А.

Построить векторные диаграммы напряжений и токов. Определить фазные, линейные токи и мощность трехфазной цепи в следующих режимах:

а). Симметричный режим (рубильник 1 и 2 замкнуты).

б). Рубильник 1 разомкнут, а рубильник 2 замкнут.

в). Рубильник 2 разомкнут, а рубильник 1 замкнут.

4. Определить во сколько раз изменятся линейные токи и мощность, если нагрузку предыдущего примера (рис. 4.17) соединить «звездой» и включить на те же линейные напряжения.

5. Как определить чередование фаз опытным путем?

6. Как изменить направление вращающегося магнитного поля?

7. С какой целью несимметричная система векторов раскладывается на симметричные составляющие?

8. Определить симметричные составляющие токов:

A, I_B=1 A, A.

9. При каких условиях возникает нулевая последовательность в линейных напряжениях и токах?