7.12. Переходный процесс в цепи r, l, c

При включении в цепь R, L, С Э.Д.С. e(t) (рис.7.11) переходный процесс исследуется с помощью дифференциального уравнения:

. (7.15)

рис.7.11. Включение цепи R, L, C

Соответствующее ему характеристическое уравнение:

,

имеет корни

, (7.16)

где , - резонансная частота.

Свободный ток равен:

.

Ток в цепи определяется суммой принужденного и свободного токов:

. (7.17)

Принужденный ток находится в соответствии с заданной Э.Д.С. e(t). Что касается свободного тока, то его характер зависит от знака подкоренного выражения (7.16).

7.12.1. Включение в цепь r, l, с постоянной э.Д.С.

Рассмотрим случай, когда Э.Д.С. источника постоянна; е=Е, тогда i_ПР=0 и емкость имеет начальное напряжение u_C(0)=U.

Ввиду наличия индуктивности начальное значение тока i(0)=0.

Исходное уравнение:

,

для начального момента записывается в виде:

,

откуда находится начальное значение производной , которое является зависимым начальным условием, необходимым для вычисления А₁ и А₂:

. (7.18)

При установившемся режиме ток будет равен нулю, что следует как из физического смысла, так и из вида правой части дифференциального уравнения (7.15). Продифференцировав (7.17) с учетом того, что i_ПР=0, получим:

Запишем (7.17) и (7.19) для t=0

(7.20)

Решая систему уравнений (7.20) с учетом (7.18) и i(0)=0 получим

,

поэтому

. (7.20)

Рассмотрим три возможные случая.

Случай 1. ₀, т. е. R> (апериодический процесс).

Согласно (7.16) корни характеристического уравнения p₁ и р₂ отрицательные действительные числа (рис. 7.12, а).

Рис.7.12. Расположение корней характеристического уравнения на комплексной плоскости

Если индекс 1 соответствует верхнему знаку перед корнем, то p₁ < р₂ и поэтому кривая спадает медленнее чем . На рис.7.13 показана кривая i, построенная по выражению (7.20).

Рис. 7.13. Апериодический процесс в цепи RLС

При больших значениях С влияние емкости мало и кривая тока приближается к кривой тока цепи R, L, при малых значениях L влияние индуктивности незначительно и кривая тока близка к кривой тока в цепи R, С.

Выражение (7.20) может быть преобразовано в гиперболическую форму

. (7.21)

Следует заметить, что при коротком замыкании цепи R, L, С, т.е. при Е=0, ток в цепи обуславливается разрядом емкости.

Случай 2. =₀, т. е. (критический случай).

Согласно (7.16) корни характеристического уравнения одинаковы

,

(рис.7.12.б).

Выражение (7.20) приводит в этом случае к неопределенности вида 0/0. Раскрывая неопределенность по правилу Лопиталя дифференцированием числителя и знаменателя no p₁, получаем:

.

To же выражение получится, если воспользоваться общим решением однородного дифференциального уравнения с кратными корнями:

.

В рассматриваемом случае i_CB(0)=B₁ и .

Следовательно,

.

Кривая тока аналогична кривой i на рис.7.13.

Случай 3. ₀, т. е. (колебательный процесс).

Корни характеристического уравнения комплексные и сопряженные:

p_1,2=-j_CB, (7.22)

где

. (7.23)

Согласно (7.23) .

Корни характеристического уравнения располагаются симметрично относительно действительной оси в левой полуплоскости, на полуокружности, центр которой совпадает с началом координат, а радиус равен (рис.7.12.в).

Сопоставление рис. 7.12.а, б и в показывает, что о характере переходного процесса в цепи R, L, С можно судить по расположению корней характеристического уравнения, т.е. нулей функции Z(p), на комплексной плоскости.

Если расположенные в левой полуплоскости нули функции Z(p) лежат на действительной оси, то имеет место апериодический процесс, совмещению нулей в одной точке отвечает критический случай, наконец, если нули функции Z(p) являются комплексно-сопряженными, то имеет место колебательный процесс.

Величина _СВ (рис.7.12.в) называется угловой частотой свободных или собственных колебаний в цепи R, L, С, а - периодом этих колебаний.

Ток в цепи согласно (7.21)

.

Полученное выражение показывает, что при включении цепи R, L, С на постоянное напряжение, когда <₀, в цепи возникают затухающие синусоидальные колебания, причем огибающими кривой тока служат кривые (рис.7.14)

Рис.7.14. Колебательный процесс при включении в цепь R, L, C, постоянной Э.Д.С.

Колебания возникают вследствие периодического преобразования энергии электрического поля в энергию магнитного поля и обратно, причем эти колебания сопровождаются потерей энергии в сопротивлении.

При t=1/ ордината огибающей в е=2,718 раза меньше начального значения огибающей. Поэтому величину 1/=2L/R называют постоянной времени колебательного контура.

На рис.7.14 показана также кривая напряжения u_C на емкости, которая в другом масштабе выражает также зависимость электрического заряда q от времени. Функции u_C и i имеют одинаковый множитель затухания. При нулевых начальных условиях (U=0) кривая u_C начинается с нуля.

Как видно из (7.22) и рис. 7.12.в, угловая частота этих колебаний _СВ определяется абсолютным значением ординаты корня характеристического уравнения, которая при 0 всегда меньше резонансной частоты ₀.

Чем меньше  по сравнению с ₀, тем медленнее затухает колебательный процесс и тем больше частота собственных колебаний цепи R, L, С приближается к резонансной частоте.

В пределе, при =0 _СВ=₀, колебания не затухают и корни характеристического уравнения располагаются на мнимой оси (рис.7.12.в).

О быстроте затухания колебательного процесса судят по величине ,называемой декрементом колебания или величине называемой логарифмическим декрементом колебания.

На рис.7.15.а-г показано изменение характера переходного процесса при уменьшении .

Рис. 7.15. Изменение характера переходного процесса с уменьшением 

Приведенные выше величины _СВ и  связаны с параметрами последовательного резонансного контура- добротностью Q=₀L/R и затуханием d=1/Q.

.

При достаточно высокой добротности _СВ  ₀. В этом случае откуда d/. Для контура среднего качества d0,01 и логарифмический декремент 0,03.