7.6. Принужденные и свободные составляющие токов и напряжений

Рассмотрим процесс подключения индуктивности к постоянному источнику Е (рис. 7.3).

Рис. 7.3. Схема подключения индуктивности к постоянному источнику

Составим для нее уравнение по второму закону Кирхгофа.

Уравнение называется дифференциальным уравнением. Общий интеграл дифференциального уравнения равен сумме частного решения неоднородного уравнения плюс общее решение однородного уравнения.

Частное решение .

Однородное уравнение получаем из исходного, если в нем возьмем правую часть равной нулю

.

Решение однородного дифференциального уравнения является функцией вида Ае^pt. Частное решение неоднородного дифференциального уравнения называют принужденной составляющей тока (напряжения).

.

Полное решение однородного уравнения - свободной составляющей.

.

Полный ток i=i_пр+i_св.

Принужденная составляющая физически представляет составляющую, изменяющуюся с той же частотой, что и действующая в схеме принужденная сила Е.

Определяются принужденные составляющие в цепи синусоидального тока с помощью символического метода. Если в цепи действует источник постоянной Э.Д.С., то находят их с помощью методов рассмотренных для цепей постоянного тока.

Постоянный ток через конденсатор не проходит, поэтому i_пр в цепях с E=const, содержащих емкость- равна нулю.

Кроме того, напряжение на индуктивности от постоянного тока также равна нулю.

В линейных электрических цепях свободные составляющие токов и напряжений затухают по показательному закону е^pt.

Полный ток (напряжение) является тем током (напряжением), который в действительности протекает в цепи.

Принужденные и свободные составляющие являются теми расчетными компонентами, сумма которых дает действительные величины.

7.7. Составление уравнений для свободных токов и напряжений

Для послекоммутационной схемы составляют уравнения по законам Кирхгофа для полных токов и напряжений, так же как это делалось и раньше: сначала обозначают токи в ветвях и произвольно выбирают для них положительные направления, затем составляют уравнения по первому и второму законам Кирхгофа.

Рис. 7.4. Пример схемы для определения свободных токов и напряжений

Так, для схемы (рис.7.4) после выбора положительных направлений для токов имеем:

В этих уравнениях i₁, i₂, i₃ - полные токи. Каждый из них состоит из свободного и принужденного токов. Составим систему уравнений для свободных токов.

(7.5)

Свободный ток представляет собой решение однородного дифференциального уравнения (уравнения без правой части). Уравнения для свободного тока представляется в виде i_СВ=Ae^pt.

Постоянная интегрирования А для каждого свободного тока своя. Показатели же затухания р одинаковы для свободных токов ветвей. Физически это объясняется тем, что вся цепь охвачена единым (общим) переходным процессом.

Определим производную от свободного тока:

.

Следовательно, производную от свободного тока можно заменить на рi_СВ, а свободное напряжение на индуктивном элементе - на Lpi_CB- Найдем интеграл от свободного тока:

Постоянная интегрирования взята здесь равной нулю, так как свободные составляющие не содержат не зависящих от времени слагаемых.

Следовательно, интеграл от свободного тока можно заменить на , а свободное напряжение на конденсаторе на .

В систему дифференциальных уравнений (7.5) подставим Lpi_CB и .

(7.6)

Уравнения (7.6) представляют собой систему алгебраических уравнений относительно i_1CB, i_2CB, i_3CB и в отличие от исходной системы не содержат производных и интегралов.