1. Практические задачи

Задача 1.

Имеются следующие данные о курсе американского доллара х₁,(руб.), фондовом индексе х₂ и котировке акций у,(%) за 10 дней:

Таблица 1.5 – Котировка акций, курс американского доллара и фондовый индекс

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
х1	28,75	28,7	28,54	28,9	28,88	28,35	27,98	28,1	28,05	27,9
х2	4	4,2	4,7	5,1	4,9	4,6	4,8	4,3	4,4	4,5
у	100	112	108	106	103	101	100	103	102	100

Задание:

Построить уравнение множественной регрессии линейного вида, применив оба метода оценки его параметров. Сделать экономический вывод.

1. Рассчитать средние коэффициенты эластичности, сделать по ним выводы.

2. Оценить качество полученного уравнения множественной регрессии, используя показатель – ошибку аппроксимации.

Задача 2.

По 19 предприятиям оптовой торговли изучается зависимость объема реализации (у) от размера торговой площади (х₁) и товарных запасов (х₂). Были получены следующие варианты уравнений регрессии:

1. y = 25 + 15 х₁ R² = 0,90;

2. y = 42 + 27 х₂ R² = 0,84;

3. y = 30 + 10 х₁ + 8 х₂ R² = 0,92;

(2,5) (4,0)

4. y = 21+ 14 х₁ + 20 х₂ + 0,6 х₂² R² = 0,95.

(5,0) (12,0) (0,2)

В скобках указаны значения стандартных ошибок для соответствующих коэффициентов регрессии.

Задание:

1. Проанализируйте тесноту связи результата с каждым из факторов.

2. Рассчитайте критерий Фишера для каждого уравнения, сравните его с табличным значением и сделайте вывод.

3. Оцените целесообразность включения одного фактора после другого в модель, используя частный критерий Фишера.

4. Оцените статистическую значимость коэффициентов чистой регрессии в уравнениях (3) и (4).

5. Выберите наилучшее уравнение регрессии, обоснуйте принятое решение.

Задача 3.

Для изучения рынка жилья в городе по данным о 46 коттеджах было построено уравнение множественной регрессии:

y = 21,1 – 6,2 х₁ + 0,95 х₂ + 3,57 х₃ R² = 0,7,

(1,8) (0,54) (0,83)

где у – цена объекта, тыс. руб.;

х₁ – расстояние от центра города, км;

х₂ - полезная площадь объекта, кв. м;

х₂ - число этажей в доме, ед;

R² - коэффициент множественной детерминации.

В скобках указаны значения стандартных ошибок для соответствующих коэффициентов регрессии.

Задание:

1. Сделайте экономические выводы по величине чистых коэффициентов регрессии.

2. Оцените надежность полученных результатов анализа рынка жилья.

Задача 4.

По 20 предприятиям легкой промышленности получена следующая информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции у (млн. руб.) от количества отработанных за год человеко – часов х₁ (тыс. чел. – ч.) и среднегодовой стоимости производственного оборудования х₂ (млн. руб.):

Уравнение регрессии	у = 35 + 0,06 х1 +2,5 х2
Множественный коэффициент корреляции	0,9
Сумма квадратов отклонений расчетных значений результата от фактических	3000

Задание:

1. Сделайте экономический вывод по уравнению регрессии.

2. Определите множественный коэффициент детерминации в этой модели и сделайте по нему вывод.

3. Выполните дисперсионный анализ (рассчитайте общую, факторную и остаточную дисперсию на 1 степень свободы).

Задача 5.

Анализируя зависимость объема производства продукции предприятиями отрасли черной металлургии от затрат труда и расхода чугуна. Для этого по 20 предприятиям собраны следующие данные: у - объем продукции предприятия в среднем за год (млн. руб.); х₁ – среднегодовая списочная численность рабочих предприятия (чел); х₂ - средние затраты чугуна за год (млн. т). Ниже представлены результаты корреляционного анализа этих данных:

Таблица 1.6 – Матрица парных коэффициентов корреляции

	У	Х1	Х2
У	1
Х1	0,78	1
Х2	0,86	0,96	1

Задание:

1. Охарактеризуйте тесноту и направление связи между исследуемыми экономическими признаками.

2. Определите значения коэффициентов детерминации в уравнениях парной регрессии у = a + bx₁ и у = a + bx₂. Какое из этих уравнений лучше?

3. Определите частные коэффициенты корреляции для линейного уравнения множественной регрессии.

4. Найдите уравнение множественной линейной регрессии в стандартизованном масштабе.

5. Рассчитайте множественный коэффициент корреляции. Сделайте по нему вывод.

Задача 6.

По 25 территориям страны изучается влияние климатических условий на урожайность зерновых у (ц/га). Для этого были отобраны две объясняющие переменные:

х₁ – количество осадков в период вегетации (мм);

х₂ - средняя температура воздуха (⁰ С).

Ниже представлены результаты корреляционного анализа этих данных:

Таблица 1.7 – Матрица парных коэффициентов корреляции

	У	Х1	Х2
У	1
Х1	0,6	1
Х2	-0,5	-0,9	1

Задание:

1. Определите частные коэффициенты корреляции результата с каждым из факторов. Прокомментируйте различие полученных частных коэффициентов корреляции с парными.

2. Постройте уравнение множественной линейной регрессии в стандартизованном масштабе.

3. Оцените целесообразность включения одного фактора после другого в модель множественной регрессии.

Задача 7.

По 30 наблюдениям матрица парных коэффициентов корреляции оказалась следующей:

Таблица 1.8 – Матрица парных коэффициентов корреляции

	У	Х1	Х2	Х3
У	1
Х1	0,3	1
Х2	0,6	0,1	1
Х3	0,4	0,15	0,8

Задание:

1. Определите показатель множественной корреляции (нескорректированный и скорректированный).

2. Постройте уравнение множественной линейной регрессии в стандартизованном масштабе.

3. Оцените целесообразность включения переменной х₁ в модель после введения в нее переменных х₂ и х₃.

Задача 8.

По 20 предприятиям отрасли были получены следующие результаты регрессионного анализа зависимости объема выпуска продукции у (млн. руб.) от численности занятых на предприятии х₁ (чел.) и среднегодовой стоимости основных фондов х₂ (млн. руб.):

Таблица 1.9 – Результаты регрессионного анализа

Множественный коэффициент детерминации	0,81
Множественный коэффициент корреляции	? ? ?
Уравнение регрессии	lny = ??? + 0,48 lnx1 +0,62 lnx2
Стандартные ошибки параметров	ma =2; mb1 = 0,06; mb2 = ???
Расчетный критерий Стьюдента для параметров	ta =1,5; tb1 = ???; tb2 = 5

Задание:

1. Восстановите пропущенные характеристики.

2. Напишите уравнение регрессии, характеризующее зависимость у от х₁ и х₂ в исходном (явном) виде.

3. С вероятностью 0,95 постройте доверительные интервалы для коэффициентов регрессии.

4. Сделайте экономические выводы по результатам регрессионного анализа.

Задача 9.

В макроэкономических исследованиях широко используется производственная функция, согласно которой выпуск у (например, ВВП) следующим образом зависит от капитала К и числа занятых L:

У = а*К^b1*L ^b2.

Можно ли с помощью обычного МНК оценить параметры производственной функции? Если да, то как? Покажите ход решения задачи в общем виде. Поясните экономический смысл параметров.

Задача 10.

Для 20 наблюдений зависимость спроса на свинину у от цены на нее х₁ и от цены на говядину х₂ представлена уравнением

lny = 0,1274 – 0,2143lnx₁ + 2,8254ln x₂ .

Задание:

1. Представить данное уравнение в естественной форме.

2. Оценить значимость параметров данного уравнения, если известно, что t – критерий для параметра b₁ при х₁ составил 0,827 а для параметра b₂ при х₂ –3,015.

3. Оценить силу влияния каждого фактора на результат.

Задача 11.

По 30 предприятиям отрасли были получены следующие результаты регрессионного анализа зависимости объема выпуска продукции у (млн. руб.) от численности занятых на предприятии х₁ (чел.) и среднегодовой стоимости основных фондов х₂ (млн. руб.):

Таблица 1 10 – Результаты регрессионного анализа

Множественный коэффициент детерминации	???
Множественный коэффициент корреляции	0,85
Уравнение регрессии	y = ??? + 0,48 x1 +20 x2
Стандартные ошибки параметров	ma =2; mb1 = 0,06; mb2 = ???
Расчетный критерий Стьюдента для параметров	ta =1,5; tb1 = ???; tb2 = 4

Задание:

1. Восстановите пропущенные характеристики.

2. Напишите уравнение регрессии, характеризующее зависимость у от х₁ и х₂.

3. С вероятностью 0,95 постройте доверительные интервалы для коэффициентов регрессии.

4. Сделайте экономические выводы по результатам регрессионного анализа.

Задача 12.

По данным, полученным от 20 фермерских хозяйств одного из регионов, изучается зависимость объема выпуска продукции растениеводства у (млн. руб.) от трех факторов: численности работников L (чел.), количества минеральных удобрений на 1 га посева М (кг) и количества осадков в период вегетации – О (г). Были получены следующие варианты уравнений регрессий и доверительные интервалы коэффициентов регрессий:

1) R² = 0,75.

Таблица 1.11 – Доверительные интервалы

Граница	Доверительные интервалы для коэффициентов регрессии при факторе
	L	М
Нижняя	0,4	???
Верхняя	???	1,4
Примечание: доверительные интервалы построены с вероятностью Р = 0,95.

2) R² = 0,77.

Таблица 1.12 – Доверительные интервалы

Граница	Доверительные интервалы для коэффициентов регрессии при факторе
	L	М	О
Нижняя	0,1	???	???
Верхняя	???	2,3	1,5
Примечание: доверительные интервалы построены с вероятностью Р = 0,95.

Задание:

1. Восстановите пропущенные границы доверительных интервалов в каждом уравнении.

2. Выберите наилучшее уравнение регрессии. Дайте интерпретацию их параметров и доверительных интервалов для коэффициентов регрессии.

3. Рассчитайте критерий Стьюдента при факторе О во 2 – ом уравнении.

Задача 13.

По данным, полученным от 20 фермерских хозяйств одного из регионов, изучается зависимость объема выпуска продукции растениеводства у (млн. руб.) от четырех факторов: численности работников L (чел.), количества минеральных удобрений на 1 га посева М (кг), количества осадков в период вегетации – О (г) и качества почвы Q (баллов). Были получены следующие варианты уравнений регрессий и доверительные интервалы коэффициентов регрессий:

1) R² = 0,77.

Таблица 1.13 – Доверительные интервалы

Граница	Доверительные интервалы для коэффициентов регрессии при факторе
	L	М	О
Нижняя	0,1	???	???
Верхняя	???	2,3	1,5
Примечание: доверительные интервалы построены с вероятностью Р = 0,95.

2) R² = 0,81.

Таблица 1.14 – Доверительные интервалы

Граница	Доверительные интервалы для коэффициентов регрессии при факторе
	L	М	О	Q
Нижняя	0,3	-0,2	???	0,4
Верхняя	???	???	-1,2	1,2
Примечание: доверительные интервалы построены с вероятностью Р = 0,95.

Задание:

1. Восстановите пропущенные границы доверительных интервалов в каждом уравнении.

2. Выберите наилучшее уравнение регрессии. Дайте интерпретацию их параметров и доверительных интервалов для коэффициентов регрессии на примере одного из факторных признаков.

3. Оцените целесообразность включения в модель y = (L, M, O) фактора Q.

Задача 14.

Производственная функция, полученная по данным за 1990 –1997 гг., характеризуется уравнением

lnP = 0,552 + 0,2761lnZ + 0,5211ln K .

(0,584) (0,065)

R²_PZK = 0,9843, R²_PZ = 0,7826, R²_PK = 0,7843.

где Р – индекс промышленного производства;

Z - численность рабочих;

К – капитал.

В скобках указаны значения стандартных ошибок для коэффициентов регрессии.

Задание:

1. Дайте интерпретацию параметров уравнения регрессии.

2. Оцените значимость коэффициентов регрессии и сделайте выводы.

3. Оцените значимость уравнения регрессии в целом.

4. Найдите величины частных критериев Фишера и сделайте выводы о целесообразности включения факторов в модель.

5. Какова роль факторов, не учтенных в модели, в вариации индекса промышленного производства.

Задача 15.

По 30 наблюдениям получены следующие данные:

Таблица 1.15 – Данные регрессионного анализа

Уравнение регрессии
Коэффициент детерминации	0,65
	200
	150
	20
	100

Задание:

1. Найдите скорректированный коэффициент корреляции, сделайте вывод о тесноте связи исследуемых признаков.

2. Оцените статистическую значимость уравнения регрессии в целом.

3. Определите средние коэффициенты эластичности.

4. Рассчитайте значение параметра а.

Задача 16.

Зависимость потребления электроэнергии у (тыс. Квт * час) от объемов производства продукции А – х₁ (тыс. ед.) и продукции Б – х₂ (тыс. ед.) характеризуется следующим образом:

Таблица 1.16 – Данные регрессионного анализа

Уравнение регрессии в стандартизованном виде
Коэффициент детерминации	0,95
Коэффициент вариации у, Сv,	27%
Коэффициент вариации x1, С x1,	45 %
Коэффициент вариации x2, С x2,	40 %

Задание:

1. Сделайте выводы о силе влияния факторов на результат.

2. Определите средние коэффициенты эластичности, сделайте по ним выводы.

3. Оцените значимость уравнения регрессии, учитывая, что оно построено по 30 наблюдениям.

Задача 17.

Имеется информация по 20 наблюдениям

Таблица 1.17 – Информация для эконометрического анализа

Признак	Среднее значение	Коэффициент вариации, %	Уравнение регрессии
у	35	20
х1	16	30
х2	8	10

Задание:

1. Оцените статистическую значимость каждого уравнения регрессии, если известно, что r_x1x2 = -0,35.

2. Оцените статистическую значимость коэффициентов в уравнении множественной регрессии.

3. Определите показатели частной корреляции.

4. Рассчитайте средние коэффициенты эластичности.

Задача 18.

Имеется информация по 18 наблюдениям

Таблица 1.18 – Информация для эконометрического анализа

Признак	Среднее значение	Коэффициент вариации, %	Уравнение регрессии
у	23	20
х1	6	40
х2	8	10

Задание:

1. Оцените статистическую значимость каждого уравнения регрессии, если известно, что r_x1x2 = -0,5.

2. Оцените статистическую значимость коэффициентов в уравнении множественной регрессии.

3. Определите показатели частной корреляции.

4. Рассчитайте скорректированный коэффициент множественной корреляции.

Задача 19.

По совокупности 30 предприятий концерна изучается зависимость прибыли у (тыс. руб.) от выработки продукции на одного работника х₁ (ед.) и индекса цен на продукцию х₂ (%).

Таблица 1.19 – Данные эконометрического исследования

Признак	Среднее значение	Среднее квадратическое отклонение	Парный коэффициент корреляции
у	250	38	r yx1 =0,68
х1	47	12	r yx2 =0,63
х2	112	21	r х1x2 =0,42

Задание:

1. Постройте линейные уравнения парной регрессии, оцените их статистическую значимость.

2. Найдите уравнение множественной регрессии в стандартизованном и натуральном виде.

3. Рассчитайте множественный коэффициент корреляции, общий и частный критерии Фишера и сделайте по ним выводы.

Задача 20.

По 30 заводам, выпускающим продукцию А, изучается зависимость потребления электроэнергии у (тыс. Квт * час) от производства продукции – х₁ (тыс. ед.) и уровня механизации – х₂ (%). Полученные данные характеризуется следующим образом:

Таблица 1.20 – Данные анализа работы предприятий

Признак	Среднее значение	Среднее квадратическое отклонение	Парный коэффициент корреляции
у	1000	27	r yx1 =0,77
х1	420	45	r yx2 =0,43
х2	41,5	18	r х1x2 =0,38

Задание:

1. Постройте уравнение множественной регрессии в стандартизованном и натуральном масштабе.

2. Определите показатели частной и множественной корреляции.

3. Найдите средние коэффициенты эластичности и сделайте вывод о силе влияния факторов на результат.

4. Рассчитайте общий и частный критерии Фишера и сделайте по ним выводы.

Задача 21.

Изучается зависимость по 25 предприятиям концерна потребления материалов у (тонн) от энерговооруженности труда – х₁ (кВт * час на одного рабочего) и объема произведенной продукции – х₂ (тыс. ед.).

Таблица 1.21 – Данные анализа работы предприятий

Признак	Среднее значение	Среднее квадратическое отклонение	Парный коэффициент корреляции
у	12	2	r yx1 =0,52
х1	4,3	0,5	r yx2 =0,84
х2	10	1,8	r х1x2 =0,43

Задание:

1. Сделайте вывод о тесноте связи исследуемых признаков.

2. Постройте уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров.

3. Определите показатели частной и множественной корреляции.

4. Найдите средние коэффициенты эластичности и сделайте вывод о силе влияния факторов на результат.

5. Рассчитайте общий и частный критерии Фишера и сделайте по ним выводы.

Задача 22.

По 20 семьям изучалось потребление мяса у (кг на душу населения) от дохода – х₁ (руб. на одного члена семьи) и от потребления рыбы – х₂ (кг на душу населения). Результаты оказались следующие:

Таблица 1.22 – результаты регрессионного анализа

Уравнение регрессии
Стандартные ошибки параметров	ma =20; mb1 = 0,01; mb2 = 0,25
Множественный коэффициент корреляции	0,85

Задание:

1. Используя критерий Стьюдента, оценить значимость параметров уравнения.

2. Рассчитайте общий критерий Фишера и сделайте выводы о статистической значимости уравнения регрессии.

3. По частным критериям Фишера оцените целесообразность включения в модель:

а) фактора х₁ после фактора х₂;

б) фактора х₂ после фактора х₁.

Задача 23.

По 40 предприятиям одной отрасли исследовалась зависимость производительности труда у от уровня квалификации рабочих – х₁ и энерговооруженности их труда – х₂. Результаты оказались следующие:

Таблица 1.23 – Результаты регрессионного анализа

Уравнение регрессии
Стандартные ошибки параметров	ma =0,5; mb1 = 2; mb2 = ???
Расчетный критерий Стьюдента для параметров	ta =3,0; tb1 = ???; tb2 = 5,0
Множественный коэффициент корреляции	0,85

Задание:

1. Определите параметр а и заполните пропущенные значения.

2. Оцените значимость уравнения в целом.

3. Выявите, какой из факторов оказывает более сильное влияние на результат.