3. Построение мультипликативной модели временного ряда

Определим компоненты мультипликативной модели временного ряда, используя данные о поквартальном объеме выработки некоторой продукции за 3 года, использованные для расчета компонент аддитивной модели временного ряда.

Таблица 3.5 – Расчет оценок сезонной компоненты в мультипликативной модели

Номер квартала t	Объем выпуска Yt	Итого за четыре квартала	Скользящая средняя за 4 квартала	Центрированная скользящая средняя	Оценка сезонной компоненты
1	410	-	-	-	-
2	400	-	-	-	-
3	715	2125	531,25	553,13	1,293
4	600	2300	575	595	1,008
5	585	2460	615	647,5	0,903
6	560	2720	680	705	0,794
7	975	2920	730	752,5	1,296
8	800	3100	775	795	1,006
9	765	3260	815	847,5	0,903
10	720	3520	880	917,5	0,785
11	1235	3820	955
12	1100

Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Методика, применяемая на этом шаге, полностью совпадает с методикой аддитивной модели. Результаты расчетов оценок сезонной компоненты представлены в табл. 3.5.

Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как частное от деления фактических уровней ряда на центрированные скользящие средние. Используем эти оценки для расчетов значений сезонной компоненты S (табл. 3.6).

Таблица 3.6 – Расчет значений сезонной компоненты в мультипликативной модели

Показатели	Год	Номер квартала, i
		I	II	III	IY
	1 2 3	- 0,903 0,903	- 0,794 0,785	1,293 1,296 -	1,008 1,006 -
Итого за i- й квартал за все годы		1,806	1,579	2,589	2,014
Средняя оценка сезонной компоненты для i-го квартала		0,903	0,79	1,295	1,007
Скорректированная сезонная компонента, Si		0,904	0,791	1,296	1,009

Взаимопогашаемость сезонных воздействий в мультипликативной модели выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты должна быть равна числу периодов в цикле. В нашем случае число периодов одного цикла (год) равно 4 (четыре квартала).

Имеем 0,903 + 0,789 + 1,295 + 1,007 = 3,995.

Определим корректирующий коэффициент: k = 4/3,995 = 1,001.

Определим скорректированные значения сезонной компоненты, умножив ее средние оценки на корректирующий коэффициент k.

Проверим условие равенства 4 значений сезонной компоненты:

0,904 + 0,791 + 1,296 + 1,009 = 4.

Получим следующие значения сезонной компоненты:

I квартал: S₁ = 0,904; II квартал: S₂ = 0,791;

III квартал: S₃ = 1,296; IY квартал: S₄ = 1,009.

Занесем полученные значения в табл.3.6 для соответствующих кварталов года.

Таблица 3. 6– Расчет выровненных значений Т и ошибок Е в мультипликативной модели

t	Yt	Si	T * E = Yt : S	T	T * S	Е=Yt : (T*S)	Е=Yt - (T*S)	E2
1	410	0,904	453,54	441,92	399,496	1,026	10,504	110,334
2	400	0,791	505,689	495,15	391,664	1,021	8,336	69,489
3	715	1,296	551,698	548,38	710,7	1,006	4,3	18,490
4	600	1,009	605,4	601,61	607,024	0,988	-7,024	49,337
5	585	0,904	647,124	654,84	591,975	0,988	-6,975	48,651
6	560	0,791	707,965	708,07	560,083	1,000	-0,083	0,007
7	975	1,296	752,315	761,3	986,645	0,988	-11,645	135,606
8	800	1,009	792,864	814,53	821,861	0,973	-21,861	477,903
9	765	0,904	846,239	867,76	784,455	0,975	-19,455	378,497
10	720	0,791	910,24	920,99	728,503	0,988	-8,503	72,301
11	1235	1,296	952,932	974,22	1262,589	0,978	-27,589	761,153
12	1100	1,009	1090,188	1027,45	1036,697	1,061	63,303	4007,270

Шаг 3. Разделим каждый уровень исходного ряда на соответствующие значения сезонной компоненты. Тем самым получим величины Т*Е = Y_t : S, которые содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Шаг 4. Определим компоненту Т в мультипликативной модели. Для этого рассчитаем параметры линейного тренда, используя уровни (Т*Е). График линейного тренда представлен на рис. 3. 5.

Уравнение тренда имеет следующий вид:

Т = 388,69 + 53,23*t.

П одставляя в это уравнение значения t = 1, 2, …,12, найдем уровни Т для каждого момента времени.

Шаг 5. Найдем уровни ряда по мультипликативной модели, умножив уровни Т на значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов.

Шаг 6. расчет ошибки в мультипликативной модели производится по формуле

Е = Y_t : (T*S).

Для того, чтобы оценить качество полученной мультипликативной модели, используя коэффициент детерминации, необходимо рассчитать сумму квадратов абсолютных ошибок. Абсолютные ошибки в мультипликативной модели определяются как

Е = Y_t - (T*S).

Рис. 3.5. Объем выпуска продукции

В данной модели сумма квадратов абсолютных ошибок составляет 6129,037. Общая сумма квадратов отклонений фактических уровней ряда от среднего значения равна 735606,3. Таким образом, доля объясненной дисперсии уровней ряда равна: (1-6129,037/735606,3)*100 = 99,17%.