25. Принципы построения корректирующих кодов. Хэммингово расстояние. Коэффициент избыточности и коэффициент обнаружения.

В обычном некорректирующем коде без избыточности, на пример, в коде Бодо, число комбинаций М выбирается равным числу сообщений алфавита источника М₀, и все комбинации используются для передачи информации. Корректирующие коды строятся так, чтобы число комбинаций М превышало число комбинаций источника М₀. Однако в этом случае лишь М₀ комбинаций из общего числа используются для передачи информации. Эти комбинации называются разрешенными, а остальные M – М₀ комбинации носят название запрещенных. На приемном конце в декодирующем устройстве известно, какие комбинации являются разрешенными и какие — запрещенными. Поэтому если переданная разрешенная комбинация в результате ошибки преобразуется в некоторую запрещенную комбинацию, то такая ошибка будет обнаружена, а при определенных условиях — исправлена. Естественно, что ошибки, приводящие к образованию другой разрешенной комбинации, не обнаруживаются.

Кратность обнаруживаемых ошибок:

.

Кратность исправляемых ошибок:

V – количество искаженных комбинаций, в которых ошибки обнаруживаются,

W – количество искаженных комбинаций, в которых ошибки обнаруживаются и не обнаруживаются.

26. Код Хэмминга. Синдром ошибки. Вероятность приема комбинации с ошибкой и вероятность необнаруженной ошибки.

Коды Хэмминга относятся к линейным систематическим кодам с d0=3 и d0=4, в которых проверочные разряды формируются линейным преобразованием информационных рязрядов. Правило нахождения проверочных разрядов является основной задачей корректирующих кодов. Это правило будем определять в виде некоторого линейного оператора R.

Код называется линейным, если любая разрешенная кодовая комбинация может быть получена в результате линейной операции над набором J ненулевых линейно-независимых кодовых комбинации. В система­тических кодах проверочные элементы формируются линейным преобразованием информационных.

Оператор формирования:

То есть каждый элемент b_i проверочной части определяется своим оператором R_i*{a_j} – обозначает подмножество тех информационных элементов, которые участвуют в формировании проверочного разряда. Т.о., для нахождения r проверочных разрядов необходимо последовательное применение r различных операторов Ri (проверок).

Обнаружение и исправлений ошибок кодом Хэмминга сводится к определению и последующему анализу СИНДРОМА - совокупность элементов, сформированных суммированием по mod 2 принятых проверочных элементов и вычисленных проверочных элементов по принятым информационным элементам по тому же правилу, которое применяется для их определения.

рис 6.16

27. Классификация кодов. Итеративный код. Хэммингово расстояние итеративного кода и исправляющая способность.

Корректирующие коды (помехоустойчивые) разделяются на блочные и непрерывные (сверточные).

Блочные коды – коды, в которых каждому символу соответствует блок из N разрядов. Разделяются на равномерные и неравномерные (код Морзе).

Непрерывные коды представляют собой непрерывную последовательность символов, не разделенных на блоки.

Равномерные блочные коды: разделимые (информационные и проверочные элементы стоят на определенных позициях) и неразделимые (деление на информационные и проверочные отсутствует).

Разделимые: систематические, или линейные, (проверочные элементы формируются в результате линейных операций над информационными элементами) и несистематические, или нелинейные, (код с контролем по четности, итеративные коды)

		Бит четности
	1011 1001 1010 1101 1011	1 0 0 1 1
БЧ	1110	1← «проверка проверок»

d = d₁*d₂ = 2*2 = 4

Условие обнаружения и исправления ошибок: если не выполняется условие четности в строке и в столбце, то значение их общего элемента должно быть заменено на обратное.

Боится ошибок смещения (одновременно появляются ошибки смещения в строке и в тех же позициях в столбце).

При p = 10^-3 вероятность обнаруживаемых ошибок при 80 комбинациях в группе = 10^-7.