4. Описание видов систем счисления. Развернутая форма записи числа.

Система счисления – это система записи чисел с помощью определенного набора букв (алфавита).

Системы счисления бывают:

• непозиционными

Например, римская система счисления. В числе XXX значение цифры X на каждой позиции остается неизменным, это 10

• позиционными

Например, знакомая нам десятичная система. В числе 999 цифра 9 на каждой позиции меняет свое значение: 9, 90, 900

Каждая система имеет:

основание – это КОЛИЧЕСТВО различных цифр, употребляемых в системе.

Например, в десятичной системе их десять, поэтому основанием десятичной системы является число 10.

алфавит – набор знаков, которые используются в записи абсолютно любого числа.

Но алфавит – это не обязательно именно буквы, в алфавите могут быть и цифры! В нашей  десятичной системе, например, десять знаков (потому она и называется десятичной), это 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 0. Вот эти 10 знаков и образуют алфавит десятичной системы.

Развернутая запись числа -  это такая запись, которая представляет собой сумму произведений цифр числа на значение позиций

Например, 

5. Представление чисел в машинных кодах. Естественная и нормальная формы представления чисел. «машинные» системы счисления

Система счисления	Основание	Алфавит цифр
Десятичная	10	0   1   2   3   4   5  6  7  8   9
Двоичная	2	0   1
Восьмеричная	8	0   1   2  3   4   5  6  7
Шестнадцатеричная	16	0  1  2  3  4  5  6  7  8  9   A   B   C   D   E   F

Одно и то же число может быть записано в различных формах

   452,34  =  452340·10^-3 = 0,0045234·10⁵ = 0,45234·10³  

 Естественная форма                                             Нормальная форма

 

            Машинным изображением числа называют его представление в разрядной сетке ЭВМ. Числа в ЭВМ также могут быть представлены в двух формах

            1) Естественная (с фиксированной запятой ФЗ)

            2) Нормальная или полулогарифмическая (с плавающей запятой ПЛЗ)

6. Понятия нормализованного числа, мантиссы, диапазонов представления чисел.

В компьютерной технике вещественными называются числа, имеющие дробную часть.

Дробные числа могут содержать большой набор цифр. Например: 0.0000345 или 10900000 (т.е очень большие или очень маленькие числа). Для удобства вещественные числа приводят к виду так называемого нормализованного представления числа. Заключается такое представление в том, что число записывается в виде произведения на основание системы счисления, возведенное в ту или иную степень. Например, предыдущие два числа в нормализованном виде будут выглядеть так: 0.345 * 10-4 и 0.109 * 108. Здесь числа 0.345 и 0.109 – мантиссы вещественных чисел, 10 – основание системы счисления, а -4 и 8 – порядки. При этом запятая (точка), разделяющая дробную и целую части ставится перед первой значащей цифрой (отличной от 0).

Нормализованная форма числа является наиболее удобной для представления дробных чисел в компьютере.

Понятно, что нормализированное представление используется не только для десятичной системы счисления. Вот примеры нормализованных записей дробных чисел в двоичной системе счисления:

101.11 = 0.10111 * 211

0.001 = 0.1 * 2-10

Здесь степени 11 и 10 – это двоичная форма десятичных чисел 3 и 2.

Нормализованная форма представления числа – это одна из форм множества вариантов экспоненциальной формы записи числа.

Плавающая запятая — форма представления дробных чисел, в которой число хранится в форме мантиссы и показателя степени. При этом число с плавающей запятой имеет фиксированную относительную точность и изменяющуюся абсолютную. 

, где

• N — записываемое число;

• M — мантисса;

• n — основание показательной функции;

• p (целое) — порядок;

•  — характеристика числа.

Примеры:

1 000 000 (один миллион):  ; N = 1 000 000, M = 1,0, n = 10, p = 6.

1 201 000 (один миллион двести одна тысяча):  ; N = 1 201 000, M = 1,201, n = 10, p = 6.

−1 246 145 000 (минус один миллиард двести сорок шесть миллионов сто сорок пять тысяч):  ; N = −1 246 145 000, M = −1,246145, n = 10, p = 9.

0,000001 (одна миллионная): ; N = 0,000001, M = 1,0, n = 10, p = −6.

0,000000231 (двести тридцать одна миллиардная): ; N = 0,000000231, M = 2,31, n = 10, p = −7.

Диапазон представления чисел (максимальное число) зависит от того, как велики поля порядка и мантиссы.