4.3. Ускорение при плоском движении твердого тела

Ускорение какой-либо точки тела при его плоском движении равно векторной сумме ускорения полюса и ускорения этой точки при вращательном движении тела вокруг полюса:

.

Здесь: – ускорение полюса;

– ускорение точки В при ее вращении вместе с телом вокруг полюса А:

нормальная составляющая ускорения направлена по нормали, т.е. по АВ к полюсу А, и равна ;

касательная составляющая ускорения направлена  АВ в сторону дуговой стрелки и равна

Задача 4.3. Кривошип ОА длиной 60 см вращается ускоренно относительно оси О и приводит в движение ролик 1 радиусом см, который катится без скольжения по неподвижному колесу 2 (рис. 4.9). Параметры вращения кривошипа в данный момент времени с^-1, с^-2. Вычислить угловую скорость и угловое ускорение ролика, вычислить скорость и ускорение точки В, находящейся на ролике на расстоянии 10 см от точки А.

Рис. 4.9

Решение. Кривошип ОА совершает вращательное движение относительно оси, проходящей через неподвижный центр О. Скорость и ускорение точки А кривошипа вычисляют по формулам

(см/с);

.

Подвижный ролик движется плоскопараллельно. Вычислим и подвижного ролика. Плоское движение ролика можно привести к мгновенно-вращательному движению относительно мгновенного центра скоростей (МЦС), этим центром является точка касания Р (рис. 4.10).

Запишем уравнение связи между движениями кривошипа и ролика. Точка А одновременно принадлежит кривошипу ОА и ролику 1. Следовательно, перемещение точки А:

, т.е. .

Угловая скорость и угловое ускорение ролика 1 тогда вычисляются:

(с^-1);

(с^-2).

Рис. 4.10

Угол вращения ролика относительно точки Р (точка МЦС) совпадает с углом вращения кривошипа (рис. 4.9). Направления вращения и ролика 1 совпадают, отмечаем их дуговыми стрелками; следовательно, движение ролика 1 является ускоренным, как и кривошипа ОА.

Скорость точки В.

Точка В находится на ролике 1, следовательно, её скорость определяется как скорость точки, вращающейся вокруг МЦС, т.е. точки Р:

.

Из геометрии задачи определим по теореме косинусов расстояние ВР:

(см).

Тогда скорость точки В:

(см/с).

Вектор перпендикулярен отрезку ВР и направлен в сторону вращения ролика (рис. 4.10).

Ускорение точки В.

Ускорение точки В складывается из ускорения полюса и ускорения точки В при её вращении вместе с роликом вокруг этого полюса. За полюс примем точку А, т.к. её ускорение известно.

Тогда ускорение точки В запишется (рис. 4.11):

.

а		б
Рис. 4.11

Здесь:

(см/с²)  нормальная составляющая ускорения полюса, направлена от точки А к центру О;

(см/с²)  касательная составляющая ускорения полюса, направлена перпендикулярно в сторону углового ускорения кривошипа ОА  ;

(см/с²)  ускорения точки В при её вращении относительно полюса А; вектор перпендикулярен АВ и направлен по направлению дуговой стрелки ;

(см/с²), вектор направлен по отрезку АВ от точки В к точке А.

Выражение для расчета ускорения точки В записано в векторной форме. Для аналитических вычислений необходимо спроецировать это векторное равенство на две оси координат, тогда теорема примет вид

, где

(см/с²);

(см/с²).

Модуль ускорения точки В вычислим по формуле

(см/с²).

Для определения направления вектора полного ускорения точки В строится параллелограмм на его проекциях и , диагональ этого параллелограмма и будет вектором ускорения точки В (рис. 4.11).

Ответ: (с^-1), (с^-2); (см/с); (см/с²).

Задача 4.4. В кривошипно-шатунном механизме кривошип ОА длиной 40 см вращается замедленно относительно центра О, с угловой скоростью с^-1 и угловым ускорением с^-2 (рис. 4.12), и приводит в движение шатун АВ длиной 80 см.

Рис. 4.12

Вычислить:

1. скорость и ускорение точки В ползуна;

2. скорость и ускорение точки С, расположенной на шатуне АВ на расстоянии см.

Решение. В кривошипно-шатунном механизме кривошип ОА вращается относительно центра О, шатун АВ движется плоскопараллельно, ползун В движется поступательно.

Точка А одновременно принадлежит и кривошипу ОА, и шатуну АВ. Рассматривая вращение кривошипа, скорость точки А рассчитываем по формуле:

(см/с).

Вектор скорости перпендикулярен кривошипу ОА и направлен в сторону угловой скорости кривошипа. Вектор скорости точки В шатуна направлен вдоль направляющих ползуна, в данном случае  по горизонтали (рис. 4.12).

Заменим плоское движение шатуна АВ мгновенно-вращательным относительно мгновенного центра скоростей (МЦС). Для нахождения МЦС восстановим перпендикуляры к построенным векторам скоростей и , на их пересечении будет находиться МЦС шатуна  точка Р (рис. 4.13, а).

а		б
Рис. 4.13

Направление мгновенного вращения шатуна АВ вокруг МЦС   определяем по направлению вектора .

Величина угловой скорости шатуна рассчитывается:

, откуда:

, .

Если положение кривошипно-шатунного механизма фиксировано и начерчено в масштабе, то расстояния ВР и СР измеряются с чертежа линейкой. В общем случае рассматривают геометрию задачи (рис. 4.13, б).

Для вычисления расстояний АР, ВР, СР рассмотрим треугольники ОАВ и ОРВ:

из по теореме синусов:

;

; , ;

из по теореме синусов:

; ;

см.

В прямоугольном треугольнике угол ОРВ равен , поэтому гипотенуза ОР равна удвоенному произведению катета ОВ, лежащего против угла :

см, тогда см.

По теореме Пифагора расстояние ВР:

см.

Расстояние СР определяется из по теореме косинусов, с учетом угла :

см.

Угловая скорость шатуна АВ, скорости точек В и С вычисляют следующим образом:

,

откуда с^-1;

(см/с),

(см/с).

Вектор скорости перпендикулярен отрезку РС и направлен в сторону мгновенного вращения шатуна (рис. 4.13, а).

Рассчитываем ускорение точки В ползуна. Принимаем точку А шатуна за полюс, тогда

. (а)

Здесь (рис. 4.14, а):

 ускорение полюса А:

(см/с²) ;

(см/с²);

 ускорение точки В при ее вращении вокруг полюса А:

(см/с²),

.

Вектор направлен по шатуну АВ от точки В к точке А; вектор располагаем перпендикулярно шатуну АВ.

Сводим вектора , , , в точку В (рис. 4.14, б).

а	б

Рис. 4.14

Ускорение точки В определяется векторным уравнением:

. (б)

Таким образом, получили векторное равенство с двумя неизвестными: и .

Вычислить и можно двумя способами  аналитическим и геометрическим. Рассмотрим каждый из указанных способов.

Аналитический способ. Начало декартовой системы координат совместим с точкой В, ось с осью ползуна, ось перпендикулярна оси ползуна (рис. 4.14, б). Вектор ускорения ползуна направлен вдоль оси , поэтому проекция вектора на ось равна нулю:

– из (б) получаем:

, ;

;

с^-2;

(см/с²);

(см/с²).

Здесь , .

Вычислим ускорение точки С. Положительный знак означает, что выбранное на схеме направление этого вектора совпадает с истинным. Следовательно, угловое ускорение шатуна направлено против часовой стрелки (рис. 4.15, а).

а	б

Рис. 4.15

Ускорение точки С:

,

где (см/с²),

(см/с²).

Спроецируем записанное векторное равенство на оси и Сy (рис. 4.14, б):

(см/с²);

(см/с²).

Модуль ускорения точки С:

(см/с²).

Геометрический (графический) способ

Рис. 4.16

Ускорение ползуна В можно получить построением многоугольника ускорений (рис. 4.16). Для этого в принятом масштабе откладываем из точки В ускорение , далее, перпендикулярно ему, откладываем касательную составляющую ускорения полюса , под углом к горизонту откладываем ускорение , из его конца проводим пунктирную прямую, перпендикулярную (параллельную неизвестному ускорению ) до пересечения с осью , по которой направлен вектор ускорения ползуна В. Точка пересечения пунктирной прямой и осью определяет вектора и . Вектор замыкает многоугольник (рис. 4.16).

Измеряем длины этих векторов и с учетом масштаба получаем соответственно:

(см/с²), (см/с²).

Для вычисления ускорения точки С – середины шатуна АВ – соединим концы ускорений точек А и В (рис. 4.16) отрезком , разделим его пополам точкой и, соединив точки С и , получим вектор ускорения середины шатуна . Замерив его с учетом масштаба, получим (см/с²).

Ответ: с^-1, с^-2; (см/с), (см/с);

(см/с²), (см/с²).

Задача 4.5. Вычислить аналитически и графически ускорение шарнира В шарнирного параллелограмма в его данном положении (рис. 4.17 а), если кривошип см вращается равномерно относительно центра О с угловой скоростью с^-1; длины звеньев см, см.

а		б
Рис. 4.17

Решение. Вычислим угловые скорости звеньев  – и  :

, ;

, ,

Здесь точка Р  точка мгновенного центра скоростей шатуна АВ. Его положение определяется точкой пересечения перпендикуляром к векторам скоростей точек А и В (рис. 4.17, б).

Из определяем расстояния составляют: см; см; тогда:

(с^-1);

(с^-1).

Аналитический способ

Применим теорему об ускорениях при плоском движении тела к точке В. За полюс выбираем точку А, ускорение в этой точке известно:

(см/с²);

тогда: , (а)

здесь (см/с²);

В полученном векторном уравнении (а) три неизвестных: модуль и направление ускорения в точке В  и угловое ускорение шатуна АВ  ( ).

Для решения задачи необходимо записать еще одно уравнение. За второй полюс выберем точку , , тогда (рис. 4.17 б):

, (б)

здесь (см/с²);

В полученном векторном равенстве (б) тоже три неизвестных: модуль и направление ускорения в точке В  и угловое ускорение кривошипа  ( ).

Получили систему уравнений:

(в)

Исключим вектор из (в). Для этого приравняем правые части уравнений (в) между собой, получим следующее векторное уравнение, которое будет содержать только две неизвестные величины – и :

. (г)

Совместим с точкой В начало декартовой системы координат (рис. 4.18, а), и спроецируем равенство (г) на эти оси:

; (1)

. (2)

Получили систему двух скалярных уравнений с двумя неизвестными: и . Решая последовательно уравнения (12), получаем:

(см/с²);

(см/с²).

а		б
Рис. 4.18

Знак () модуля показывает, что истинное направление этого вектора противоположно выбранному на схеме (рис. 4.18, б).

Вычислим ускорение точки В:

(см/с²).

Направление вектора получаем построением параллелограмма на векторах и (рис. 4.18, б).

Графический (геометрический) способ

Ускорение шарнира В получим построением многоугольника ускорений (рис. 4.19). Рассмотрим векторное равенство (г):

,

здесь:

(см/с²), (см/с²), (см/с²).

В выбранном масштабе откладываем из точки В, параллельно ОА, ускорение . Из конца этого вектора в том же масштабе, параллельно оси звена АВ, откладываем нормальную составляющую ускорения , и из его конца проводим пунктирную прямую -, перпендикулярную (параллельную неизвестному ускорению ). Затем из точки В, в том же масштабе, откладываем нормальную составляющую ускорения  вдоль звена ВС, из конца этого вектора проводим перпендикулярную ему пунктирную прямую -, параллельную неизвестному ускорению (рис. 4.19).

Рис. 4.19

Обозначим точку пересечения прямых - и - буквой D. Соединим точку В и точку D, полученная прямая соответствует ускорению точки В  ; прямая соответствует ускорению ; прямая соответствует ускорению . Замеряем длину отрезков, с учетом принятого масштаба, получаем:

(см/с²); (см/с²); см/с²).

Результаты получены двумя разными способами, хорошо согласуются друг с другом.

Ответ: (см/с²).

!!! Алгоритм решения

При решении задач на вычисление уравнений движения плоского твердого тела и вычисление скоростей точек, жестко связанных с плоской фигурой, рекомендуется такая последовательность действий:

• выбираем неподвижную систему координат и точку С (полюс), жестко связанную с плоской фигурой;

• составляем уравнения движения плоской фигуры: определяем координаты полюса относительно неподвижной системы координат , ; проводим через точку C прямую, определяем угол , который эта прямая составляет с горизонтальной неподвижной осью;

• вычисляем скорость полюса и скорость любой точки тела (например, точки В), как точки, мгновенно вращающейся вокруг полюса  ;

• вычисляем скорость любой точки, жестко связанной с телом (движущейся вместе с полюсом и вращающейся вокруг полюса), по теореме о скоростях точек тела при его плоскопараллельном движении: .

Если определить аналитически сложно, находим мгновенный центр скоростей для заданного положения твердого тела, восставляя перпендикуляры к векторам скоростей двух точек плоской фигуры (точки В и С, направление вектора скорости в точках С и В известно), и определяем мгновенную угловую скорость фигуры.

	Задачи для самостоятельного решения
										В механизме длина кривошипа см, . Вращение кривошипа ОА равномерное, с-1. Для заданного положения механизма вычислить: , , , , , .
2. В кривошипно-шатунном механизме кривошип см вращается равномерно с с-1; длина шатуна м. Вычислить угловую скорость шатуна; скорость его середины М при четырех положениях кривошипа, когда угол ВАО составит 0, , и ; ускорение при вертикальном положении кривошипа ОА.
								Шестерёнка радиусом , катящаяся по неподвижной окружности радиусом , приводится в движение кривошипом , вращающимся равноускоренно с угловым ускорением вокруг неподвижной оси . Составить уравнения движения подвижной шестерёнки, приняв за полюс её центр , если при угловая скорость кривошипа и угол поворота .
								На чертеже изображена схема убирающегося шасси самолета; м, м, м, с-1. В данный момент АСВ – горизонтальная прямая, м. Вычислить при данном положении механизма скорости точек Д, Е и С; ускорение точки Е.
									5. Кривошип ОА равномерно вращается с угловой скоростью с-1, приводя в движение шатун АВ. Колесо 1 катится без скольжения по неподвижному колесу 2, радиусы обоих колес одинаковые. Вычислить угловую скорость колеса 1   и кривошипа , имеющего ось вращения, проходящую через центр неподвижного колеса; ускорение точки Д – , если см.
6. Колесо радиусом см, катящееся без скольжения по неподвижному колесу радиусом см, приводится в движение кривошипом ОА, который вращается с угловой скоростью с-1. В свою очередь подвижное колесо приводит в движение шатун см. Вычислить при данном положении механизма скорость точки В, угловую скорость шатуна ВС, скорость ползуна С, угловое ускорение стержня ВС.
			7. Диск радиусом см, катящийся без скольжения по неподвижному диску того же радиуса, приводится в движение кривошипом ОА, который вращается вокруг оси О с угловой скоростью с-1. Найти скорость и ускорение точки В, а также угловое ускорение катящегося диска.
8. В механизме, изображенном на чертеже, вычислить скорости точек А, В, , С, а также угловые скорости всех звеньев и угловое ускорение колеса: см; см; с-1, см; колесо катится без скольжения.
											9. Колесо 1 радиусом см, катящееся без скольжения по внутренней поверхности неподвижного колеса 2 радиусом см, приводится в движение кривошипом см, который вращается с постоянной угловой скоростью с-1.
На одну ось О с кривошипом ОА свободно насажено колесо 3 радиусом 20 см, находящееся во внешнем зацеплении с колесом 1. Вычислить угловую скорость колеса 3, скорость и ускорение точки для указанного положения механизма АВ ОА.
						10. Две шестеренки находятся во внешнем зацеплении и приводятся во вращательное движение с помощью кривошипа см. Стержень BK жестко соединен с шестеренкой 2. При данном положении механизма вычислить скорость точки B, угловую скорость и угловое ускорение шестеренки 1. Дано: с-1; ; ; см. Точки С, К и В лежат на одной прямой.
									11. На чертеже изображена схема механизма станка-качалки нефтяного насоса. Колесо вращается вокруг оси О, делая 20 об/мин. Для указанного на чертеже положения балансир СД – горизонтален, шарнир А и точка О на одной прямой, см. Вычислить: , , , .
12. Колесо радиусом см катится по горизонтальному рельсу. Центр колеса движется согласно уравнению (см). К колесу кольцом А прикреплен стержень АВ, конец которого скользит по рельсу. Указанное на чертеже положение соответствует c. Вычислить для этого положения , .
									13. На чертеже изображен кривошипный механизм с ножной педалью. В данный момент , , шатун вертикален; с-1, с-2, см, см, см. Для указанного на чертеже положения механизма вычислить: , , .
14. Вычислить скорость поршня и ускорение приводного механизма насоса в положении, указанном на рисунке, если 20 см, . Вращение кривошипа равномерное, с угловой скоростью с-1.
		15. Точильный станок приводится в движение педалью см, которая колеблется около оси: (рад) (угол отсчитывается от горизонтали). Точильный камень вращается вокруг оси с помощью шатуна АВ. Дано: м; . В момент времени вычислить , , , .
							16. На фигуре изображена схема ручного насоса. Рукоятка ОВ вращается с постоянной угловой скоростью (1/cек). Вычислить скорость точки С в указанном на чертеже положении и угловую скорость звена ВС, когда , см. Вычислить также ускорение точки С и угловую скорость шатуна ВА  .
							17. При заданном положении шарнирного механизма угловая скорость и угловое ускорение звена ОА равны соответственно с-1, с-2. м. Вычислить в положении, указанном на рисунке, , .
								18. Кривошип см вращается с угловой скоростью с-1 и приводит в движение колесо радиусом см, которое катится по неподвижной криволинейной поверхности радиусом . К колесу в точке В шарнирно присоединен шатун см. Для заданного положения механизма при с вычислить , .
											19. Кривошип , вращаясь замедленно, приводит в движение ролик 2 радиусом см, который катится по внутренней поверхности неподвижного колеса 1 радиусом см. К колесу 2 в точке В шарнирно прикреплен шатун см. Для заданного положения механизма вычислить , , если с-1, с-2.
20. Кривошип см, вращаясь с (с-1), с помощью шатуна м приводит в движение ступенчатый диск с большим и малым радиусами соответственно см, см. Диск катится без скольжения по горизонтальной поверхности. Для заданного положения механизма при с вычислить , , , .
						21. Кривошип м, вращаясь с угловой скоростью (с-1), с помощью шатуна м приводит в движение ролик 1 радиусом м, который катится без скольжения по неподвижной поверхности 2 радиусом м равномерно с с-1. Для заданного положения механизма при с вычислить , .
				22. Вычислить скорость точки четырехзвенного механизма и угловое ускорение шатуна в положении, указанном на рисунке, если звено 20 см имеет в данный момент времени угловую скорость 2 рад/с, а точка является серединой стержня .
						23. Груз , связанный посредством нерастяжимой нити с катушкой , опускается вертикально вниз по закону м. Катушка катится без скольжения по неподвижному горизонтальному рельсу. Вычислить скорости точек , , , и катушки в момент с в положении, указанном на рисунке, и угловую скорость катушки, если , 20 см.
					24. К середине стержня шарнирного параллелограмма присоединен с помощью шарнира стержень , приводящий в возвратно-поступательное движение ползун . Вычислить скорость ползуна и угловую скорость стержня в положении, указанном на рисунке. 20 см; угловая скорость звена равна рад/с.
							25. Рассчитать скорости точек механизма; угловую скорость и угловое усклорение звена . Дано: см, , – шарнирный параллелограмм; с-1; в данный момент , , .

92