2. Простые механизмы



Вспомни теорию



Вращением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором точки тела, расположенные на прямой, остаются неподвижными в течение всего времени движения. Эта прямая называется осью вращения.

– уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси;

– угловая скорость тела;

– угловое ускорение тела.

Рис. 2.1	Рис. 2.2

Если знаки производных одинаковые ( , , , ), тело вращается ускоренно (против или по движению часовой стрелки, соответственно). Если знаки производных разные, например , , – тело вращается замедленно. Угловую скорость и угловое ускорение на рисунках изображают дуговыми стрелками вокруг оси вращения тела, рис. 2.2.

Скорости и ускорения точек твердого тела. Скорость точки тела при его вращении вокруг неподвижной оси пропорциональна кратчайшему расстоянию от точки до оси вращения:

.

Скорость точки направлена по касательной к траектории и, следовательно, перпендикулярна прямой, соединяющей точку с центром вращения (рис. 2.2).

Ускорение точки М разлагаем на касательную и нормальную составляющие (рис. 2.2):

Рис. 2.3

, , , .

Задача 2.1. Диск 1 вращается вокруг неподвижной оси, уравнение вращения диска задано: (рад) (рис. 2.3). Диск 1 приводит во вращение диски 2, 3, имеющие общую неподвижную ось вращения и жестко скрепленные друг с другом. Диски 1, 2 связаны зубчатой передачей. На диск 3 намотана нерастяжимая нить, на конец которой привязан груз 4. Вычислить ускорение точки А (лежит на ободе диска 2) и скорость груза 4 в момент времени с, если м, м, м.

Решение. Вычислим угловую скорость и угловое ускорение диска 1 в момент времени с:

(с^-1);

(с^-2).

а	б
Рис. 2.4

Получили и , следовательно, дуговые стрелки для и следует направить в сторону часовой стрелки (рис. 2.4, а). Тогда диски 2, 3 будут вращаться против часовой стрелки за счет зубчатой передачи, а груз 4 опускаться.

Запишем уравнения связи.

Справка Длина дуги, угол поворота и радиус связаны соотношением .

1. Перемещения точек соприкосновения 1-го и 2-го дисков при отсутствии скольжения между ними одинаковые, поэтому:

, откуда .

Дифференцируя правую и левую части, получим:

, ,

откуда: (с^-1), (с^-2).

Вычислим ускорение в точке А (рис. 2.4, б):

(м/с²); (м/с²);

(м/с²).

2. Перемещения точек соприкосновения груза 4 (через нерастяжимую нить) и диска 3 одинаковые, поэтому:

.

Дифференцируя правую и левую части, получим:

м/с; здесь  скорость тела 4.

Ответ: ускорение (м/с²); скорость (м/с).

Задача 2.2. Механизм (рис. 2.5) состоит из двух ступенчатых дисков (2 и 3), связанных ременной передачей, барабана 4, соединенного с диском 3 нерастяжимым тросом, и груза 1, привязанного к концу нити, намотанной на диск 2. Уравнение движения ступенчатого диска 3: (рад). Радиусы ступеней дисков составляют соответственно м, м; м; м; радиус барабана м.

В момент времени с вычислить:

- скорости точек А, В, С и D, расположенных на ободе дисков, скорость точки Е, расположенной на ободе барабана;

- ускорения груза 1 и точек С, Е.

Рис. 2.5

Решение.

1. Определим направление движения звеньев механизма. Вычислим угловую скорость и угловое ускорение ведущего диска 3 для заданного момента времени с:

(с^-1);

(с^-2).

Движение ведущего диска 3 ускоренное и направлено против часовой стрелки, т.к. , . Следовательно, движение всех звеньев механизма будет ускоренным, как показано дуговыми стрелками на рис. 2.5.

2. Запишем уравнения связей для заданного механизма.

Ведущим звеном системы является ступенчатый диск 3.

1. Диски 3 и 2 соединены нерастяжимым ремнем:

, откуда ,

тогда (с^-1), (с^-2).

2. Диск 3 и барабан 4 соединены нерастяжимым тросом:

, откуда ,

тогда (с^-1); (с^-2).

3. Диск 2 и груз 1 соединены нерастяжимой нитью:

, откуда (м/с),

(м/с²).

2. Вычислим скорости точек.

Точки С и D находятся на ободе диска 3:

(м/с); (м/с).

Точки А и В находятся на ободе диска 2:

(м/с);

(м/с).

Точка Е находится на ободе барабана 4:

(м/с).

Векторы скоростей точек строятся перпендикулярно соответствующим радиусам дисков и барабана в направлении их угловых скоростей (рис. 2.6).

Рис. 2.6

Скорость груза 1:

(м/с).

2. Вычислим ускорения точек С, Е.

Точка С находится на ободе диска 3, с учетом его вращательного движения ускорение этой точки:

, где (м/с²),

(м/с²);

(м/с²).

Точка Е находится на ободе барабана 4, который совершает вращательное движение. Тогда, аналогично точке С, ускорение точки Е:

, (м/с²),

(м/с²);

(м/с²).

2. Вычислим ускорение груза 1.

(м/с²).

Ответ: (м/с), (м/с), (м/с), (м/с),

(м/с); (м/с²), (м/с²), (м/с²).

!!! Алгоритм решения

Первый тип задач (прямая задача)  задано уравнение вращения твердого тела , требуется вычислить угловую скорость, угловое ускорение, скорость и ускорение точек твердого тела:

• выбираем систему координат так, чтобы одна из осей (для определенности ось z) совпадала с осью вращения;

• составляем уравнение вращения твердого тела, т.е. зависимость , если она не задана явно;

• вычисляем первую производную по времени от , вычисляем угловую скорость вращения тела ;

• вычисляем вторую производную по времени от , находим угловое ускорение вращения тела ;

• связываем с исследуемой точкой систему координат ; вычисляем модуль скорости, касательную и нормальную , составляющие ускорение точки, принадлежащей вращающемуся телу;

• вычисляем полное ускорение точки по модулю и направлению.

Второй тип задач (обратная задача)  задано угловое ускорение или угловая скорость твердого тела ; требуется вычислить уравнение вращения , скорость любой точки твердого тела , ускорение любой точки твердого тела :

• формулируем начальные условия задачи;

• разделяем переменные в дифференциальном уравнении или и интегрируем по времени дифференциальные уравнения с разделенными переменными с учетом начальных условий задачи, вычисляем угловую скорость твердого тела или уравнение вращения твердого тела ;

• вычисляем скорость любой точки твердого тела , ускорение любой точки твердого тела .

	Задачи для самостоятельного решения
			1. Угловая скорость зубчатого колеса (диаметр колеса D= 50 мм) равна рад/с. Каким должен быть диаметр зубчатого колеса , находящегося с колесом во внутреннем зацеплении, угловая скорость которого в три раза больше угловой скорости колеса .
				2. Механизм, состоящий из двух составных дисков, приводится в движение гирей, подвешенной к одному из дисков на нерастяжимой нити. Движение гири задано уравнением (м). Вычислить скорость точки А и ускорение точки В через 1 с, если м, м, м, м.
3. Станок со шкивом приводится в движение из состояния покоя бесконечным ремнем от шкива электромотора; радиусы шкивов см; см, после пуска в ход электромотора его угловое ускорение с-2. Пренебрегая скольжением ремня по шкивам, вычислить, через какое время угловая скорость станка будет рад/с.
		4. Вал радиусом см приводится во вращение гирей , привешенной к нему на нерастяжимой нити. Движение гири задано уравнением , где  расстояние гири от места схода нити с поверхности вала,  время в секундах. Вычислить угловую скорость и угловое ускорение вала, полное ускорение точки на его поверхности в момент времени .
					5. Механизм, состоящий из двух дисков, приводится в движение рейкой, находящейся в зацеплении с первым диском. Движение рейки задано уравнением (м). Вычислить скорость точки А и ускорение точки В через 3 с, если м, м, м.
Вычислить скорости точек А, С и ускорение точки В через с, если задано уравнение движения груза (см); см, см, см, см, см, см.
7. Вычислить скорость точки А и ускорение точек С и В через с, если уравнение движения груза 3, если (см), см; см; см; см; см; см.