404. Случай произвольного промежутка. Предположим, что функция задана в промежутке [ , ] произвольной длины 2l и кусочно-дифференцируема в нём. Если прибегнуть к подстановке
,
то
получится функция
от
в
промежутке [
,
],
тоже кусочно-дифференцируема, к которой
уже приложим рассмотрения предыдущего
номера. Как мы видели, за исключением
точек разрыва и концов
,
промежутка, можно разложить её в ряд
Фурье:
,
коэффициенты которого определяются формулами Эйлера – Фурье:
,
.
(n=0, 1, 2 …) (n=1, 2, 3, …)
Вернёмся теперь к прежней переменной , пологая
.
Тогда мы получим разложение заданной функции в тригонометрический ряд несколько изменённого типа:
.
(13)
Здесь
косинусы и синусы берутся от углов,
кратных не
,
а
.
Можно было бы и формулы для определения
коэффициентов этого разложения
преобразовать той же подстановкой к
виду
,
.
(14)
(n=0, 1, 2 …) (n=1, 2, 3, …)
В
отношении концов промежутка
сохраняют силу замечания, сделанные в
предыдущем номере относительно точек
.
Конечно промежуток (
,
]
может быть заменён любым другим
промежутком длинны
,
в частности, промежутком (
,
].
В последнем случае формулы (14) должны
быть заменены формулами
,
.
(14а)
(n=0, 1, 2 …) (n=1, 2, 3, …)
*) От этого разложения, разумеется, легко перейти с случае надобности обратно к разложению вида (4).
**)
Функция
называется
кусочно-непрерывной в промежутке [
,
],
если она в нём непрерывна, за исключением
конечного числа точек, где на лицо
скачки. Таким образом, промежуток [
,
]
разлагается на конечное число промежутков,
в каждом из которых в отдельности
функция
сплошь непрерывна, даже включая их
концы, если там заменить значение
функции – её предельными значениями.
Можно представить себе кусочно-непрерывную
функцию как бы «склеенной» из нескольких
непрерывных функций, с тем лишь, что в
«точка стыка» (равно как и на концах
промежутка) её значения устанавливаются
особо.
*)
Заметим, что равномерная сходимость
сохранится и при умножении всех членов
ряда на ограниченные функции
,
.
*) В дано случае подынтегральное выражение при вовсе не имеет предела.
*) Мы понимаем под этим сходимость или расходимость ряда в точке , а также наличие для него – в случае сходимости – той или иной суммы.
*) Функция называется кусочно–дифференцируемой в промежутке [ , ], если этот промежуток разлагается на конечное число частичных промежутков, внутри которых функция дифференцируема, а на концах не только имеет предельные значения, но и односторонние производные, при условии замены на этих концах значений функции упомянутыми предельными значениями. Можно представить себе кусочно-дифференцируемую функцию как бы «склеенной» из нескольких функций, дифференцируемых (а, следовательно, и непрерывных) в замкнутых частичных промежутках с тем лишь, что в «точках стыка» (равно как и на концах и основного промежутка) её значения устанавливаются особо.